Mechanika - Gömb felületén lévő tengellyel

Feladat

1. (*3.2.4.) $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű gömböt egy, sugarának gömbfelület menti végpontján átmenő tengely körül megforgatunk.

   a) Mekkora a gömb adott tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka, ha súlyponti tengelyére vonatkozóan $\setbox0\hbox{$\theta_{\text{TKP}}=\frac25mR^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$?

   b) Mekkora nyomatékra van szükség ahhoz, hogy $\setbox0\hbox{$\beta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nagyságú szöggyorsulással tudjuk forgásba hozni?

   c) Hogyan kell változni az idő függvényében azon energiaforrás teljesítményének, amely az állandó $\setbox0\hbox{$\beta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szöggyorsulást biztosítani képes, ha a gömb a $\setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időpontban nyugalomból indult?

Megoldás

A megadott tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték a Steiner-tétel szerint

$\[\theta=\theta_{\rm{TKP}}+mR^2=\frac75mR^2.\]$

A szükséges forgatónyomaték

$\[M=\theta\beta=\frac75mR^2\beta.\]$

A $\setbox0\hbox{$t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időpontban szükséges pillanatnyi teljesítmény $\setbox0\hbox{$P(t)=\vec{F}(t)\vec{v}(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ analógiájára $\setbox0\hbox{$P(t)=\vec{M}(t)\vec{\omega}(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, amelyben a vektorok most egyirányúak és $\setbox0\hbox{$\omega=\beta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, így

$\[P(t)=\frac75mR^2\beta^2t.\]$

A pillanatnyi teljesítmény megkapható az

$\[E_{\text{forg}}=\frac12\theta\omega^2(t)\]$

mozgási/forgási energia kifejezés idő szerinti deriválásából is.