Mechanika - Merev testek I.

Feladatok

1. (3.2.1.) Merev test egyenletesen gyorsuló forgó mozgást végez. Szögsebessége $\setbox0\hbox{$2\,\mathrm{s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ alatt $\setbox0\hbox{$\omega_0=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ról $\setbox0\hbox{$\omega=10\,\rm s^{-1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ra változik. Mekkora a szöggyorsulása? Mekkora a szögelfordulása $\setbox0\hbox{$2\,\rm s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ alatt? Mekkora a kerületi gyorsulása a tengelytől $\setbox0\hbox{$0,2\,\rm m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra levő tömegpontnak?
   Végeredmény [mutat]

   $\[\beta=5\,\rm s^{-1}\]$

   $\[\alpha=10\,\rm{rad}\]$

   $\[a=1\,\frac{\rm m}{\rm s^2}\]$
   Megoldás
   
   
2. (3.2.2.) Mekkora forgatónyomaték hat arra a $\setbox0\hbox{$100\,\rm{kg\cdot m^2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tehetetlenségi nyomatékú testre, amely nyugalomból indulva a forgatónyomaték hatására egyenletesen gyorsulva $\setbox0\hbox{$10\,\rm s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ alatt 50 fordulatot tesz meg?
   Végeredmény [mutat]

   $\[M=628\,\rm{Nm}\]$
   Megoldás
   
   
3. (3.2.3.) Egy $\setbox0\hbox{$m=50\,\rm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$R=0,5\,\rm m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú homogén lendítőkerék $\setbox0\hbox{$600/\rm{perc}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fordulatszámmal forog. A korong pereme és a féktuskó között a súrlódási együttható 0,5.

   a) Mekkora erővel kell a féktuskót a koronghoz szorítani, hogy az $\setbox0\hbox{$10\, \rm s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ alatt megálljon?

   b) Mekkora a megállítás ideje alatt a súrlódó erő munkája?

   Végeredmény [mutat]

   $\[F=157\,\rm{N}\]$

   $\[W_{F_s}=12377\,\rm J=1250\,\pi^2\,\rm J\]$

   Megoldás

   
   

4. (*3.2.4.) $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű gömböt egy, sugarának gömbfelület menti végpontján átmenő tengely körül megforgatunk.

   a) Mekkora a gömb adott tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka, ha súlyponti tengelyére vonatkozóan $\setbox0\hbox{$\theta_{\text{TKP}}=\frac25mR^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$?

   b) Mekkora nyomatékra van szükség ahhoz, hogy $\setbox0\hbox{$\beta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nagyságú szöggyorsulással tudjuk forgásba hozni?

   c) Hogyan kell változni az idő függvényében azon energiaforrás teljesítményének, amely az állandó $\setbox0\hbox{$\beta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szöggyorsulást biztosítani képes, ha a gömb a $\setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időpontban nyugalomból indult?

   Végeredmény [mutat]

   $\[\theta=\frac75mR^2.\]$

   $\[P(t)=\frac75mR^2\beta^2t.\]$

   Megoldás

   
   

5. (*3.2.5.) Rögzített tengely körül forgó $\setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű és $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú korong kerületére fonalat csavarunk. A fonalat állandó $\setbox0\hbox{$P$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ teljesítményű energiaforrással kapcsolatban álló szerkezet feszíti.

   a) Hogyan változik a korong szöggyorsulása az idő függvényében, ha a korong a $\setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időpontban nyugalomban volt?

   b) Mennyi ideig kell a fonalat húzni, ha a korong forgási energiáját $\setbox0\hbox{$E_{\rm{forg}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értékre akarjuk növelni?

   Végeredmény [mutat]

   $\[\beta=\sqrt{\frac{P}{2\theta}} \frac1{\sqrt t}\]$

   Megoldás

   
   

6. (*3.2.6.) Mekkora egy $\setbox0\hbox{$h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú pálca lengésideje, ha a felső végétől $\setbox0\hbox{$\frac{h}4$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra levő pontján átmenő tengely körül leng kis szögkitéréssel?
   Útmutatás [mutat]

   Írjuk fel a pálca nyomatéki mozgásegyenletét, majd közelítsük a szögfüggvényeket kis szögekre a Taylor-soruk alapján. A szöggyorsulásra rendezett alakból leolvasható a körfrekvencia négyzete, amiből a lengésidő meghatározható.
   Végeredmény [mutat]

   $\[T=2\pi\sqrt{\frac{7h}{12g}}\]$
   Megoldás
   
   
7. (*3.2.7.) Egy $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú, homogén tömegeloszlású korong egy kerületi pontján átmenő tengely körül kis szögkitérésű lengéseket végez. A forgástengely a korong homloklapjára merőleges.

   a) Írd fel a korong mozgásegyenletét, mikor az egyensúlyi helyzetéből kimozdult helyzetben van!

   b) Mekkora a korong lengésének periódusideje?

   Útmutatás [mutat]

   Lásd az előző feladatnál!

   Végeredmény [mutat]

   $\[T=2\pi\sqrt{\frac{3R}{2g}}\]$

   Megoldás

   
   

8. (**3.2.10.) Egy $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ oldalhosszúságú $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű téglalap alakú lemez függőlegesen elhelyezkedő $\setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ oldala mentén levő tengely körül forog. A $\setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időpontban szögsebessége $\setbox0\hbox{$\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A lemez felületére a közegellenállás folytán erő hat, mely a mozgását akadályozza. Egy felületelemre ható erő arányos a felületelem sebességének négyzetével és a felületelem nagyságával, az arányossági tényező $\setbox0\hbox{$k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

   a) Mekkora a $\setbox0\hbox{$t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ik időpillanatban a tengelytől $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságban elhelyezkedő $\setbox0\hbox{$\text{dA}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ felületelemre ható, közegellenállásból származó erő?

   b) Mekkora a lemezre ható nyomaték nagysága?

   c) Hogyan változik a lemez szöggyorsulása és szögsebessége az idő függvényében?

   d) Mekkora és hol van a támadáspontja az eredő közegellenállási erőnek?

   Útmutatás [mutat]

   Mind az eredő erőt mind az eredő forgatónyomatékot a megfelelő erő- és nyomatékelemek felületre vett integráljával lehet meghatározni Az eredő nyomaték az eredő erő és a támadáspont sugarának szorzata.

   Végeredmény [mutat]

   $\[M=bk\omega^2(t)\frac{a^4}4\]$

   $\[\omega(t)=\frac{\omega_0}{1-\frac{a^4\omega_0bkt}{4\theta}}\]$

   A szöggyorsulás ebből deriválással megkapható.

   $\[F=bk\omega^2a^3/3\]$

   $\[R=\frac3 4 a\]$

   Megoldás

   
   

9. (3.2.13.) Egy homogén rúd tömege $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Egyik végén átmenő vízszintes tengely körül elforoghat, a másik végén $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű teher lóg. A rudat geometriai középpontjában ható $\setbox0\hbox{$mg$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nagyságú vízszintes erővel húzzuk. Mekkora a rúd függőlegessel alkotott szöge egyensúly esetén?
   Végeredmény [mutat]

   $\[\tan{\alpha}=\frac13\]$
   Megoldás