Mechanika - Szíjhatjás

Feladat

1. (*3.2.17.) Az $\setbox0\hbox{$m_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$m_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű, $\setbox0\hbox{$R_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$R_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú rögzített tengely körül forgó, homogén tömegeloszlású tárcsák elhanyagolható tömegű szíjjal kapcsolódnak egymáshoz. A hajtó tárcsára $\setbox0\hbox{$M_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nagyságú forgatónyomaték hat, a másikat $\setbox0\hbox{$M_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értékű nyomaték terheli. Feltételezzük, hogy a szíj a tárcsákon nem csúszik meg.

   a) Határozzuk meg mindkét tárcsa szöggyorsulását!

   b) Hogyan változik az $\setbox0\hbox{$M_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nyomatékot szolgáltató energiaforrás teljesítménye az idő függvényében, ha a $\setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időpontban a tárcsák álltak?

   c) Milyen teljesítménnyel végez munkát a terhelő szerkezet a $\setbox0\hbox{$t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ik időpillanatban?

   d) Mire fordítódik az $\setbox0\hbox{$M_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nyomatékot szolgáltató forrás energiájának és a terhelés által végzett munkának a különbsége?

Megoldás

A két tárcsa mozgásegyenletének felírásához a két megadott nyomatékon felül a többi nyomatékot is számba kell venni, melyet a szíjat feszítő erők tárcsákra ható ellenerői adnak. A szíj két szakaszát eltérő erő feszíti, így tud mindkét tárcsára eredő nem nulla nyomaték hatni a szíj részéről. Ezt a két erőt $\setbox0\hbox{$F_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-el és $\setbox0\hbox{$F_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-vel jelölve a nyomatéki mozgásegyenletek:

$\[\theta_1\beta_1=M_1+(F_1-F_2)R_1\]$

és

$\[\theta_2\beta_2=-M_2+(F_2-F_1)R_2\]$

A tömegközéppontok erőegyenleteit ezek megoldásához nem szükséges felírni, annyi többletinformáció adódik belőlük, hogy a tengelyeket tartó erő azonos a két tárcsánál és $\setbox0\hbox{$T=F_1+F_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ki kell használni azonban, hogy a szíj nem csúszik meg, tehát a két tárcsa kerületi sebessége, így kerületi gyorsulásuk is azonos, ebből adódik a szöggyorsulások viszonyára $\setbox0\hbox{$\beta_2=\beta_1\frac{R_1}{R_2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ezt a második nyomatéki egyenletbe írva, majd a két egyenletet megfelelő tényezőkkel szorozva elérhető, hogy a tárcsák közti nyomatékátadást leíró tagok a két egyenlet összeadásakor kiesnek, így kapható

$\[\beta_1=\frac{M_1R_2^2-M_2R_1R_2}{\theta_2R_1^2+\theta_1R_1^2},\]$

ebből pedig $\setbox0\hbox{$\beta_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A hatjószerkezet teljesítménye $\setbox0\hbox{$P_1=M_1\omega_1(t)=M_1\beta_1t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a terhelő szerkezet munkavégzése pedig $\setbox0\hbox{$P_2=M_2\omega_2(t)=M_2\beta_2t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A kettő különbségének idő szerinti integrálja a két tárcsából álló rendszer mozgási energiáját változtatja meg.