Mechanika - Túlcsillapított rezgés

Feladat

1. (**6.30.) Egy $\setbox0\hbox{$0,5\,\rm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű testet olyan rugóra függesztünk, amely $\setbox0\hbox{$0,1\,\rm N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ erő hatására $\setbox0\hbox{$8\,\rm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-rel nyúlik meg. A testre mozgása során sebességével arányos ellenállás hat, amely $\setbox0\hbox{$0,01\,\rm{\frac ms}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebesség esetén $\setbox0\hbox{$0,05\,\rm N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A $\setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pillanatban a rugó - egyensúlyi helyzetéhez képest – $\setbox0\hbox{$5\,\rm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-rel megnyúlik, a testet kezdősebesség nélkül indítjuk. Határozzuk meg a test mozgását!

Megoldás

A rugóállandó $\setbox0\hbox{$D=1,25\,\rm{\frac Nm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, így a csillapítatlan sajátrezgés körfrekvenciája $\setbox0\hbox{$\omega_0=\sqrt{2,5}\,\frac1{\rm s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a közegellenállási erő együtthatója $\setbox0\hbox{$k=5\,\rm{\frac{Ns}m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, így a csillapítási tényező $\setbox0\hbox{$\beta=5\,\frac1{\rm s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Mivel $\setbox0\hbox{$\beta>\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a rezgés túlcsillapított. Az ehhez tartozó általános megoldás egyik lehetséges (és praktikus) alakja:

$\[x(t)=e^{-\beta t}[c_1\sinh(\gamma t)+c_2\cosh(\gamma t)],\]$

melyben a $\setbox0\hbox{$c_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$c_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ állandókat a kezdeti feltételek határozzák meg, valamint $\setbox0\hbox{$\gamma=\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}=4,74\,\frac1{\rm s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

$\[x(0)=1(c_1 0+c_2 1)=c_2=5\, \rm{cm}\]$

$\[\dot x(t)=-\beta e^{-\beta t}[c_1\sinh(\gamma t)+c_2\cosh(\gamma t)]+e^{-\beta t}[c_1\gamma\cosh(\gamma t)+c_2\gamma\sinh(\gamma t)]\]$

$\[\dot x(0)=c_1\gamma-c_2\beta=0,\]$

melyből

$\[c_1=\frac{c_2\beta}{\gamma}=5,27\,\rm{cm}\]$