Mechanika - Rezonanciák

Feladat

1. (*6.35.) Csillapított lineáris harmonikus oszcillátort kényszerrezgésbe hozunk. A mozgás folyamán lesz olyan időpont, amikor az oszcillátor sebessége a legnagyobb. Ha megváltoztatjuk a kényszererő frekvenciáját, megváltozik a legnagyobb sebesség értéke is. Hogyan válasszuk meg a kényszerrezgés frekvenciáját, hogy ez a legnagyobb sebesség (mint a frekvencia függvénye) maximális legyen? Mekkora körfrekvenciánál legnagyobb a rezgés amplitúdója?

Megoldás

Ha

$\[A(\omega)=\frac{f_0}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+(2\beta\omega)^2}}\]$

függvény adja meg az állandósult rezgés amplitúdóját $\setbox0\hbox{$mf_0=F_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ amplitúdójú erőgerjesztés esetén, akkor a sebessségamplitúdó $\setbox0\hbox{$v_{\rm{max}(\omega)}=\omega A(w)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ lesz, és ennek keressük a szélsőértékét. Mielőtt azonban nekiállunk deriválni ezt a kifejezést, érdemes megnézni, hogy milyen jellegű. Először is $\setbox0\hbox{$f_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értéke közömbös, tehát a továbbiakban 1-nek vesszük. Mivel mind a számláló, mind a nevezőben lévő gyökös kifejezés pozitív, kereshetjük a reciprok szélsőértékét, lévén az $\setbox0\hbox{$1/x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szigorúan monoton függvény. Hasonló okokból a kérdéses tört négyzetének a szélsőértékét is kereshetjük, mivel az $\setbox0\hbox{$x^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvény pozitív argumentumú szakasza is szigorúan monoton. Végső soron tehát elegendő az

$\[\frac1{A^2\omega^2}=\frac{(\omega_0^2-\omega^2)^2+(2\beta\omega)^2}{\omega^2}=\frac{(\omega_0^2-\omega^2)^2}{\omega^2}+4\beta^2\]$

kifejezés szélsőértékét keresni. Mivel a második tag nem függ $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-tól, a szélsőérték helyét nem befolyásolja, az első tag törtje pedig mindenképp pozitív értékű, és $\setbox0\hbox{$\omega=\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ esetén éppen nulla, tehát minimális is, így ez a sebességrezonancia feltétele. Az amplitúdórezonancia helye szintén gyorsan megtalálható, ha egyből $\setbox0\hbox{$\frac1{A^2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szélsőértékéthelyét keressük:

$\[\frac{\partial}{\partial\omega}\left((\omega_0^2-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2 \right )=-2(\omega_0^2-\omega^2)2\omega+8\beta^2\omega=0,\]$

melyből rendezéssel és egyszerűsítéssel

$\[\omega^2=\omega_0^2-2\beta^2\]$