Pontrendszerek - 3.1.12

Feladat

1. Egy $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú $\setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű, a vízhez képest nyugvó csónak egyik végén $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű ember áll, majd átmegy a csónak másik végébe. Elhanyagolva a víz ellenállását számítsuk ki, hogy mennyit mozdul el ezalatt a csónak!

Megoldás

1. Rögzítsük a vonatkoztatási rendszert úgy, hogy az origó abban a pontban van, ahol az ember áll, és a csónak az $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-tengely pozitív felén fekszik. Ebben a koordinátarendszerben a tömegközéppont kezdeti pozíciója

   $\[x_{TKP}=\frac{m\cdot 0+M x_{M}}{m+M}\,,\]$

   ahol $\setbox0\hbox{$x_{M}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a csónak tömegközéppontja ebben a vonatkoztatási rendszerben. Megjegyezzük, hogy a $\setbox0\hbox{$x_{M}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nem feltétlenül egyezik meg $\setbox0\hbox{$l/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-vel, mert a csónak akár inhomogén is lehet. Látni fogjuk azonban, hogy a pontos értékétől független lesz a megoldás. Amíg az ember átsétál a másik végébe, a teljes rendszer tömegközéppontjának helye nem változik, amennyiben elhanyagoljuk a víz ellenállását. Ha a csónak közben $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-t mozdul el negatív irányba, akkor az ember pozíciója $\setbox0\hbox{$l-x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A vég állapotban

   $\[x_{TKP}=\frac{m\cdot (l-x)+M\left(x_{M}-x\right)}{m+M}\]$

   A két egyenletet összevetve

   $\[x=\frac{m}{m+M}l\,.\]$