Pontrendszerek - 3.3.1

Feladat

1. Lövedékek sebességének mérésére az ún. ballisztikus ingát használják. A homokkal töltött $\setbox0\hbox{$M=100\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű inga $\setbox0\hbox{$m=0,2\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-os lövedék becsapódása után $\setbox0\hbox{$10^\circ$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-kal kilendül. Mekkora a lövedék sebessége? Az inga súlypontjának a felfüggesztési ponttól való távolsága $\setbox0\hbox{$l=2\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

Megoldás

1. A lövedék és a homokzsák tökéletesen rugalmatlan ütközést szenvednek, melynek során a közös végsebesség $\setbox0\hbox{$u$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ lesz. Az impulzus megmaradás miatt

   $\[(M+m)u=mv\,.\]$

   Az ütközés után a homokzsák és a lövedék kilendül, melynek során a kezdeti kinetikus energia helyzeti energiává alakul.

   $\[\frac{1}{2}(M+m)u^{2}=(M+m)gl(1-\cos\alpha)\qquad\Rightarrow\qquad u=\sqrt{2gl(1-\cos\alpha)}\]$

   Ezzel a korábbi egyenletbe helyettesítve

   $\[v=\left(1+\frac{M}{m}\right)\sqrt{2gl(1-\cos\alpha)}=1560 \,\mathrm{\frac{m}{s}}\,.\]$