Mechanika - Merev testek I.

Feladatok

1. (3.2.1.) Merev test egyenletesen gyorsuló forgó mozgást végez. Szögsebessége $\setbox0\hbox{$2\,\mathrm{s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ alatt $\setbox0\hbox{$\omega_0=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ról $\setbox0\hbox{$\omega=10\,\rm s^{-1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ra változik. Mekkora a szöggyorsulása? Mekkora a szögelfordulása $\setbox0\hbox{$2\,\rm s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ alatt? Mekkora a kerületi gyorsulása a tengelytől $\setbox0\hbox{$0,2\,\rm m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra levő tömegpontnak?
   Végeredmény

   $\[\beta=5\,\rm s^{-1}\]$

   $\[\alpha=10\,\rm{rad}\]$

   $\[a=1\,\frac{\rm m}{\rm s^2}\]$
   Megoldás
   
   
2. (3.2.2.) Mekkora forgatónyomaték hat arra a $\setbox0\hbox{$100\,\rm{kg\cdot m^2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tehetetlenségi nyomatékú testre, amely nyugalomból indulva a forgatónyomaték hatására egyenletesen gyorsulva $\setbox0\hbox{$10\,\rm s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ alatt 50 fordulatot tesz meg?
   Végeredmény

   $\[M=628\,\rm{Nm}\]$
   Megoldás
   
   
3. (3.2.3.) Egy $\setbox0\hbox{$m=50\,\rm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$R=0,5\,\rm m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú homogén lendítőkerék $\setbox0\hbox{$600/\rm{perc}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fordulatszámmal forog. A korong pereme és a féktuskó között a súrlódási együttható 0,5.

   a) Mekkora erővel kell a féktuskót a koronghoz szorítani, hogy az $\setbox0\hbox{$10\, \rm s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ alatt megálljon?

   b) Mekkora a megállítás ideje alatt a súrlódó erő munkája?

   Végeredmény

   $\[F=157\,\rm{N}\]$

   $\[W_{F_s}=12377\,\rm J=1250\,\pi^2\,\rm J\]$

   Megoldás

   
   

4. (*3.2.4.) $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű gömböt egy, sugarának gömbfelület menti végpontján átmenő tengely körül megforgatunk.

   a) Mekkora a gömb adott tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka, ha súlyponti tengelyére vonatkozóan $\setbox0\hbox{$\theta_{\text{TKP}}=\frac25mR^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$?

   b) Mekkora nyomatékra van szükség ahhoz, hogy $\setbox0\hbox{$\beta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nagyságú szöggyorsulással tudjuk forgásba hozni?

   c) Hogyan kell változni az idő függvényében azon energiaforrás teljesítményének, amely az állandó $\setbox0\hbox{$\beta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szöggyorsulást biztosítani képes, ha a gömb a $\setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időpontban nyugalomból indult?

   Végeredmény

   $\[\theta=\frac75mR^2.\]$

   $\[P(t)=\frac75mR^2\beta^2t.\]$

   Megoldás

   
   

5. (*3.2.5.) Rögzített tengely körül forgó $\setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű és $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú korong kerületére fonalat csavarunk. A fonalat állandó $\setbox0\hbox{$P$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ teljesítményű energiaforrással kapcsolatban álló szerkezet feszíti.

   a) Hogyan változik a korong szöggyorsulása az idő függvényében, ha a korong a $\setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időpontban nyugalomban volt?

   b) Mennyi ideig kell a fonalat húzni, ha a korong forgási energiáját $\setbox0\hbox{$E_{\rm{forg}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értékre akarjuk növelni?

   Végeredmény

   $\[\beta=\sqrt{\frac{P}{2\theta}} \frac1{\sqrt t}\]$

   Megoldás

   
   

6. (*3.2.6.) Mekkora egy $\setbox0\hbox{$h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú pálca lengésideje, ha a felső végétől $\setbox0\hbox{$\frac{h}4$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra levő pontján átmenő tengely körül leng kis szögkitéréssel?
   Útmutatás

   Írjuk fel a pálca nyomatéki mozgásegyenletét, majd közelítsük a szögfüggvényeket kis szögekre a Taylor-soruk alapján. A szöggyorsulásra rendezett alakból leolvasható a körfrekvencia négyzete, amiből a lengésidő meghatározható.
   Végeredmény

   $\[T=2\pi\sqrt{\frac{7h}{12g}}\]$
   Megoldás
   
   
7. (*3.2.7.) Egy $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú, homogén tömegeloszlású korong egy kerületi pontján átmenő tengely körül kis szögkitérésű lengéseket végez. A forgástengely a korong homloklapjára merőleges.

   a) Írd fel a korong mozgásegyenletét, mikor az egyensúlyi helyzetéből kimozdult helyzetben van!

   b) Mekkora a korong lengésének periódusideje?

   Útmutatás

   Lásd az előző feladatnál!

   Végeredmény

   $\[T=2\pi\sqrt{\frac{3R}{2g}}\]$

   Megoldás

   
   

8. (**3.2.10.) Egy $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ oldalhosszúságú $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű téglalap alakú lemez függőlegesen elhelyezkedő $\setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ oldala mentén levő tengely körül forog. A $\setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időpontban szögsebessége $\setbox0\hbox{$\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A lemez felületére a közegellenállás folytán erő hat, mely a mozgását akadályozza. Egy felületelemre ható erő arányos a felületelem sebességének négyzetével és a felületelem nagyságával, az arányossági tényező $\setbox0\hbox{$k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

   a) Mekkora a $\setbox0\hbox{$t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ik időpillanatban a tengelytől $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságban elhelyezkedő $\setbox0\hbox{$\text{dA}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ felületelemre ható, közegellenállásból származó erő?

   b) Mekkora a lemezre ható nyomaték nagysága?

   c) Hogyan változik a lemez szöggyorsulása és szögsebessége az idő függvényében?

   d) Mekkora és hol van a támadáspontja az eredő közegellenállási erőnek?

   Útmutatás

   Mind az eredő erőt mind az eredő forgatónyomatékot a megfelelő erő- és nyomatékelemek felületre vett integráljával lehet meghatározni Az eredő nyomaték az eredő erő és a támadáspont sugarának szorzata.

   Végeredmény

   $\[M=bk\omega^2(t)\frac{a^4}4\]$

   $\[\omega(t)=\frac{\omega_0}{1-\frac{a^4\omega_0bkt}{4\theta}}\]$

   A szöggyorsulás ebből deriválással megkapható.

   $\[F=bk\omega^2a^3/3\]$

   $\[R=\frac3 4 a\]$

   Megoldás

   
   

9. (3.2.13.) Egy homogén rúd tömege $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Egyik végén átmenő vízszintes tengely körül elforoghat, a másik végén $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű teher lóg. A rudat geometriai középpontjában ható $\setbox0\hbox{$mg$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nagyságú vízszintes erővel húzzuk. Mekkora a rúd függőlegessel alkotott szöge egyensúly esetén?
   Végeredmény

   $\[\tan{\alpha}=\frac13\]$
   Megoldás
   
   
10. (*3.2.14.) Egy $\setbox0\hbox{$4\,\rm m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszú létrát függőleges falhoz támasztunk úgy, hogy a vízszintes talajjal $\setbox0\hbox{$50^{\circ}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-os szöget zár be. A létra és a talaj közötti súrlódási együttható $\setbox0\hbox{$0,3$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A fal súrlódásmentes. Ha valaki a létrára mászik, milyen magasra jut, mielőtt a létra megcsúszik? (A létra tömegét hanyagoljuk el!)

Útmutatás

A nyomatéki egyenletet arra a pontra nézve érdemes felírni, ahol a legtöbb az ismeretlen erő.

Végeredmény

$\[h=1,095\,\rm m\]$

Megoldás

1. Egy $\setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű, $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú vízszintes korong a szimmetriatengelyén átmenő, függőleges tengely körül foroghat. A korong kezdetben áll. Egy $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű golyót lövünk a korongnak vízszintesen $\setbox0\hbox{$v_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességgel úgy, hogy a sebességvektor a korong vízszintes érintőjével $\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szöget zár be, ahogy az ábra is mutatja. A golyó és a korong tökéletesen rugalmatlanul ütközik, a golyó hozzátapad a koronghoz.

   a.) Mekkora lesz az ütközés után a korong szögsebessége?

   b.) Hányad része vész el a kezdeti mozgási energiának?

   c.) Legalább mekkora a golyó és korong közötti "ragasztó" erő?

   

   Útmutatás

   Használjuk a perdületmegmaradást!

   Végeredmény

   Majd lesz

   Megoldás

   
   

2. (3.2.15.) Közös tengely körül szabadon foroghat két tömör lendkerék, amelyek tömege $\setbox0\hbox{$m_1=12\,\rm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, és $\setbox0\hbox{$m_2=8\,\rm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, átmérője $\setbox0\hbox{$d_1=0,6\,\rm m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, és $\setbox0\hbox{$d_2=0,4\,\rm m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A második $\setbox0\hbox{$n_2=200/\rm{perc}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fordulatszámmal forog, az első áll. Mekkora közös fordulatszámmal haladnak, ha hirtelen egymással összekapcsoljuk őket?
   Végeredmény

   $\[n=0,763\,\frac1{\rm s}\]$
   Megoldás
   
   
3. (*3.2.16.) Egymással párhuzamosan elhelyezkedő tengely körül foroghat egy $\setbox0\hbox{$m_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és egy $\setbox0\hbox{$m_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű tárcsa, melyek sugarai rendre $\setbox0\hbox{$R_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$R_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Az $\setbox0\hbox{$R_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú tárcsát $\setbox0\hbox{$\omega _0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szögsebességgel megforgatjuk, majd az álló $\setbox0\hbox{$R_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú tárcsához nyomjuk $\setbox0\hbox{$F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ erővel. A tárcsák érintkező felületei között a súrlódási együttható $\setbox0\hbox{$\mu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.
   

   a) Mennyi idő alatt érik el az együttforgás állapotát, és mekkora szögsebességgel forognak ekkor?

   b) Milyen értékűvé válik ez idő alatt a rendszer kinetikus energiája?

   c) Ellenőrizze az eredő impulzusmomentumot és annak változását. Mi okozza a változást?

   d) Milyen súrlódási tényező lenne energiatakarékosság szempontjából gazdaságos?

   Útmutatás

   Határozzuk meg a szöggyorsulásokat, majd vizsgáljuk meg, hogy mikor válnak egyenlővé a kerületi sebességek.

   Végeredmény

   $\[t=\frac{\omega_0R_1m_1m_2}{2\mu F(m_1+m_2)}\]$

   $\[\omega_1=\omega_0\frac{m_1}{m_1+m_2}\]$

   $\[\omega_2=\omega_0\frac{R_1}{R_2}\frac{m_1}{m_1+m_2}\]$

   $\[E=\frac14\omega_0R_1\frac{m_1}{m_1+m_2}(m_1R_1+m_2R_2)\]$

   $\[\Delta L=\frac12\frac{m_1m_2\omega_0(R_2R_1-R_1^2)}{m_1+m_2}\]$

   Ez csak azonos sugarak esetén nulla. A súrlódási együttható teszőleges nem nulla érték lehet.

   Megoldás

   
   

4. (*3.2.17.) Az $\setbox0\hbox{$m_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$m_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű, $\setbox0\hbox{$R_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$R_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú rögzített tengely körül forgó, homogén tömegeloszlású tárcsák elhanyagolható tömegű szíjjal kapcsolódnak egymáshoz. A hajtó tárcsára $\setbox0\hbox{$M_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nagyságú forgatónyomaték hat, a másikat $\setbox0\hbox{$M_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értékű nyomaték terheli. Feltételezzük, hogy a szíj a tárcsákon nem csúszik meg.

   a) Határozzuk meg mindkét tárcsa szöggyorsulását!

   b) Hogyan függ az $\setbox0\hbox{$M_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nyomatékot szolgáltató energiaforrás teljesítménye az időtől, ha a $\setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időpontban a tárcsák álltak?

   c) Milyen teljesítménnyel végez munkát a terhelő szerkezet a $\setbox0\hbox{$t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ik időpillanatban?

   d) Mire fordítódik az $\setbox0\hbox{$M_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nyomatékot szolgáltató forrás energiájának és a terhelés által végzett munkának a különbsége?

   Végeredmény

   $\[\beta_1=\frac{M_1R_2^2-M_2R_1R_2}{\theta_2R_1^2+\theta_1R_1^2}\]$

   $\[\beta_2=\beta_1\frac{R_1}{R_2}\]$

   $\[P_1=M_1\beta_1t\]$

   $\[P_2=M_2\beta_2t\]$

   Megoldás

   
   

5. Határozzuk meg egy $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű, $\setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ oldalhosszúságú négyzet alakú homogén lemez tehetetlenségi nyomatékát a tömegközéppontján átmenő, rá merőleges tengelyre vonatkoztatva!
   Útmutatás

   Állapítsuk meg egy azonos sűrűségű, de kétszer ekkora oldalélű négyszög tehetetlenségi nyomatékát kétféleképpen is!
   Végeredmény

   $\[\Theta = \frac{1}{6} m L^2\]$
   Megoldás