„Elektrosztatika példák - Vezető anyaggal töltött kondenzátor ellenállása” változatai közötti eltérés
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 2. Kategória:Szerkesztő:Beleznai Kategória:Elektrosztatika {{Kísérleti fizika gyakorlat | tárgynév …”) |
|||
| 8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
| − | </noinclude><wlatex>#Számítsuk ki az <br> '''a)''' $a$ és $b$ sugarú gömblemezekből álló $(a<b)$, $\sigma$ vezetőképességű közeggel kitöltött gömbkondenzátor; ill. <br> az $L$ élhosszúságú, $a$ és $b$ sugarú, henger alakú lemezekből álló, $\sigma$ vezetőképességű közeggel kitöltött hengerkondenzátor $(L>>b)$ $R$ ellenállását!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content='''a)''' $$R = \frac{U}{I} = \frac{1}{4 \pi\sigma}\cdot\frac{b-a}{ab}$$ <br> '''b)''' $$R = \frac{U}{I} = \frac{\ln\left(\frac{b}{a}\right)}{2 \pi L\sigma}$$}} | + | </noinclude><wlatex>#Számítsuk ki az <br> '''a)''' $a$ és $b$ sugarú gömblemezekből álló $(a<b)$, $\sigma$ vezetőképességű közeggel kitöltött gömbkondenzátor; ill. <br> '''b)''' az $L$ élhosszúságú, $a$ és $b$ sugarú, henger alakú lemezekből álló, $\sigma$ vezetőképességű közeggel kitöltött hengerkondenzátor $(L>>b)$ $R$ ellenállását!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content='''a)''' $$R = \frac{U}{I} = \frac{1}{4 \pi\sigma}\cdot\frac{b-a}{ab}$$ <br> '''b)''' $$R = \frac{U}{I} = \frac{\ln\left(\frac{b}{a}\right)}{2 \pi L\sigma}$$}} |
</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
A lap 2013. július 1., 18:51-kori változata
Feladat
- Számítsuk ki az
a)
és 
sugarú gömblemezekből álló 
, 
vezetőképességű közeggel kitöltött gömbkondenzátor; ill.
b) az
élhosszúságú, és sugarú, henger alakú lemezekből álló, vezetőképességű közeggel kitöltött hengerkondenzátor 
ellenállását!
Megoldás
a, A Gauss-tétel stacionárius áramok esetén is igaz. Azt feltételezzük, hogy a külső és belső gömbhéjakon töltések halmozódnak fel, amelyek létrehozzák a potenciálkülönbséget. A Gauss tétel egy 
sugarú koncentrikus gömbre:
![\[\vec{E}\cdot 4 \pi r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0}\]](/images/math/e/c/d/ecd61a32fa0bfa2a12495dbf7eade01e.png)
![\[\vec{E} = \frac{Q}{4\pi r^2 \epsilon_0}\]](/images/math/3/0/1/30157f5b14b9ab2053bad4ae80136d5c.png)
Amiből a gömbök közötti potenciálkülönbség:
![\[U = \int_a ^b \vec{E}\cdot\vec{dr} = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\cdot\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)\]](/images/math/2/c/3/2c303d40a7606031daeeea2752aa8653.png)
A differenciális Ohm-törvény alapján a gömbben folyó áramsűrűség:
![\[\vec{j} = \sigma\cdot\vec{E}\]](/images/math/0/0/e/00ebb810bd08d4ee3f75e9afb38ce9a0.png)
![\[\vec{j} = \frac{\sigma Q}{4 \pi r^2 \epsilon_0}\]](/images/math/3/c/c/3cc6757bf4268fbf2b132adf731e4501.png)
Amit egy sugarú gömbön felintegrálva megkapjuk a gömbhéjak között folyó áramot:
![\[I = \iint \vec{j}\cdot\vec{dA} = \frac{\sigma Q}{\epsilon_0}\]](/images/math/5/4/1/541fff2f50a1117429074589b9ba6e18.png)
Ebből az Ohm-törvény alapján a gömb ellenállása:
![\[R = \frac{U}{I} = \frac{1}{4 \pi\sigma}\cdot\frac{b-a}{ab}\]](/images/math/8/4/e/84e92eab27c675b0f15ff3e48ae19305.png)
b, A Gauss-tétel stacionárius áramok esetén is igaz. Azt feltételezzük, hogy a külső és belső hengerhéjakon töltések halmozódnak fel, amelyek létrehozzák a potenciálkülönbséget. A Gauss-tétel egy sugarú koncentrikus henger:
![\[\vec{E}\cdot 2 \pi r L = \frac{Q}{\epsilon_0}\]](/images/math/4/1/e/41ee564e76da2bd1e76cf78fb2d88b3f.png)
![\[\vec{E} = \frac{Q}{4\pi r L \epsilon_0}\]](/images/math/6/0/8/60899a33ba9823ec5e8bec847cb28703.png)
Amiből a hengerek közötti potenciálkülönbség:
![\[U = \int_a ^b \vec{E}\cdot\vec{dr} = \frac{Q}{2\pi\epsilon_0 L}\cdot\ln\left(\frac{b}{a}\right)\]](/images/math/f/8/a/f8a9196d3ea05e05eaf7aff67fb2fd29.png)
A differenciális Ohm-törvény alapján a hengerben folyó áramsűrűség:
![\[\vec{j} = \frac{\sigma Q}{2 \pi r L \epsilon_0}\]](/images/math/c/c/9/cc9288e825706f7e309e16d0a62eebad.png)
Amit egy sugarú hengeren felintegrálva megkapjuk a hengerek között folyó áramot:
Ebből az Ohm-törvény alapján a henger ellenállása:
![\[R = \frac{U}{I} = \frac{\ln\left(\frac{b}{a}\right)}{2 \pi L\sigma}\]](/images/math/2/c/0/2c03bec5c484c7acbeff168450f84864.png)
