„Elektrosztatika példák - Vezető anyaggal töltött kondenzátor ellenállása” változatai közötti eltérés
(→Megoldás) |
|||
13. sor: | 13. sor: | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
a, A Gauss-tétel stacionárius áramok esetén is igaz. Azt feltételezzük, hogy a külső és belső gömbhéjakon töltések halmozódnak fel, amelyek létrehozzák a potenciálkülönbséget. A Gauss tétel egy $r$ sugarú koncentrikus gömbre: | a, A Gauss-tétel stacionárius áramok esetén is igaz. Azt feltételezzük, hogy a külső és belső gömbhéjakon töltések halmozódnak fel, amelyek létrehozzák a potenciálkülönbséget. A Gauss tétel egy $r$ sugarú koncentrikus gömbre: | ||
− | $$ | + | $$E\cdot 4 \pi r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0}$$ |
− | $$ | + | $$E = \frac{Q}{4\pi r^2 \epsilon_0}$$ |
Amiből a gömbök közötti potenciálkülönbség: | Amiből a gömbök közötti potenciálkülönbség: | ||
$$U = \int_a ^b \vec{E}\cdot\vec{dr} = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\cdot\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)$$ | $$U = \int_a ^b \vec{E}\cdot\vec{dr} = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\cdot\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)$$ | ||
− | A differenciális Ohm-törvény alapján a gömbben folyó áramsűrűség: | + | A differenciális Ohm-törvény alapján a gömbben folyó áramsűrűség nagysága: |
− | $$ | + | $$j = \sigma\cdot E$$ |
− | $$ | + | $$j = \frac{\sigma Q}{4 \pi r^2 \epsilon_0}$$ |
− | + | Amely áramsűrűséget az $r$ sugarú gömbfelületen integrálva megkapjuk a gömbhéjak között folyó áramot: | |
$$I = \iint \vec{j}\cdot\vec{dA} = \frac{\sigma Q}{\epsilon_0}$$ | $$I = \iint \vec{j}\cdot\vec{dA} = \frac{\sigma Q}{\epsilon_0}$$ | ||
Ebből az Ohm-törvény alapján a gömb ellenállása: | Ebből az Ohm-törvény alapján a gömb ellenállása: | ||
$$R = \frac{U}{I} = \frac{1}{4 \pi\sigma}\cdot\frac{b-a}{ab}$$ | $$R = \frac{U}{I} = \frac{1}{4 \pi\sigma}\cdot\frac{b-a}{ab}$$ | ||
− | b, A Gauss-tétel stacionárius áramok esetén is igaz. Azt feltételezzük, hogy a külső és belső | + | b, A Gauss-tétel stacionárius áramok esetén is igaz. Azt feltételezzük, hogy a külső és belső hengerfelületeken töltések halmozódnak fel, amelyek létrehozzák a potenciálkülönbséget. A Gauss-tétel egy $r$ sugarú koncentrikus hengerre: |
− | $$ | + | $$E\cdot 2 \pi r L = \frac{Q}{\epsilon_0}$$ |
− | $$ | + | $$E = \frac{Q}{4\pi r L \epsilon_0}$$ |
Amiből a hengerek közötti potenciálkülönbség: | Amiből a hengerek közötti potenciálkülönbség: | ||
$$U = \int_a ^b \vec{E}\cdot\vec{dr} = \frac{Q}{2\pi\epsilon_0 L}\cdot\ln\left(\frac{b}{a}\right)$$ | $$U = \int_a ^b \vec{E}\cdot\vec{dr} = \frac{Q}{2\pi\epsilon_0 L}\cdot\ln\left(\frac{b}{a}\right)$$ | ||
33. sor: | 33. sor: | ||
$$\vec{j} = \sigma\cdot\vec{E}$$ | $$\vec{j} = \sigma\cdot\vec{E}$$ | ||
$$\vec{j} = \frac{\sigma Q}{2 \pi r L \epsilon_0}$$ | $$\vec{j} = \frac{\sigma Q}{2 \pi r L \epsilon_0}$$ | ||
− | + | Amely áramsűrűséget az $r$ sugarú hengerfelületen integrálva megkapjuk a hengerek között folyó áramot: | |
$$I = \iint \vec{j}\cdot\vec{dA} = \frac{\sigma Q}{\epsilon_0}$$ | $$I = \iint \vec{j}\cdot\vec{dA} = \frac{\sigma Q}{\epsilon_0}$$ | ||
Ebből az Ohm-törvény alapján a henger ellenállása: | Ebből az Ohm-törvény alapján a henger ellenállása: |
A lap 2013. szeptember 14., 20:51-kori változata
Feladat
- Számítsuk ki az
a) és sugarú gömblemezekből álló , vezetőképességű közeggel kitöltött gömbkondenzátor; ill.
b) az élhosszúságú, és sugarú, henger alakú lemezekből álló, vezetőképességű közeggel kitöltött hengerkondenzátor ellenállását!
Megoldás
a, A Gauss-tétel stacionárius áramok esetén is igaz. Azt feltételezzük, hogy a külső és belső gömbhéjakon töltések halmozódnak fel, amelyek létrehozzák a potenciálkülönbséget. A Gauss tétel egy sugarú koncentrikus gömbre:
Amiből a gömbök közötti potenciálkülönbség:
A differenciális Ohm-törvény alapján a gömbben folyó áramsűrűség nagysága:
Amely áramsűrűséget az sugarú gömbfelületen integrálva megkapjuk a gömbhéjak között folyó áramot:
Ebből az Ohm-törvény alapján a gömb ellenállása:
b, A Gauss-tétel stacionárius áramok esetén is igaz. Azt feltételezzük, hogy a külső és belső hengerfelületeken töltések halmozódnak fel, amelyek létrehozzák a potenciálkülönbséget. A Gauss-tétel egy sugarú koncentrikus hengerre:
Amiből a hengerek közötti potenciálkülönbség:
A differenciális Ohm-törvény alapján a hengerben folyó áramsűrűség:
Amely áramsűrűséget az sugarú hengerfelületen integrálva megkapjuk a hengerek között folyó áramot:
Ebből az Ohm-törvény alapján a henger ellenállása: