„Elektrosztatika példák - Vezető anyaggal töltött kondenzátor ellenállása” változatai közötti eltérés
(→Feladat) |
(→Feladat) |
||
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex>#Számítsuk ki az <br> '''a)''' $a$ és $b$ sugarú gömblemezekből álló $(a<b)$, $\sigma$ vezetőképességű közeggel kitöltött gömbkondenzátor; ill. <br> '''b)''' az $L$ hosszúságú, $a$ és $b$ sugarú, fegyverzetekből álló, $\sigma$ vezetőképességű közeggel kitöltött hengerkondenzátor $(L>>b)$ $R$ ellenállását!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content='''a)''' $$R = \frac{U}{I} = \frac{1}{4 \pi\sigma}\cdot\frac{b-a}{ab}$$ <br> '''b)''' $$R = \frac{U}{I} = \frac{\ln\left(\frac{b}{a}\right)}{2 \pi L\sigma}$$}} | + | </noinclude><wlatex>#Számítsuk ki az <br> '''a)''' $a$ és $b$ sugarú gömblemezekből álló $(a<b)$, $\sigma$ vezetőképességű közeggel kitöltött gömbkondenzátor; ill. <br> '''b)''' az $L$ hosszúságú, $a$ és $b$ sugarú, fegyverzetekből álló, $\sigma$ vezetőképességű közeggel kitöltött hengerkondenzátor $(L>>b)$ $R$ ellenállását! <br> A fegyverzetek közti feszültség mindkét esetben időben állandó!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content='''a)''' $$R = \frac{U}{I} = \frac{1}{4 \pi\sigma}\cdot\frac{b-a}{ab}$$ <br> '''b)''' $$R = \frac{U}{I} = \frac{\ln\left(\frac{b}{a}\right)}{2 \pi L\sigma}$$}} |
</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
A lap 2021. március 22., 14:16-kori változata
Feladat
- Számítsuk ki az
a) és sugarú gömblemezekből álló , vezetőképességű közeggel kitöltött gömbkondenzátor; ill.
b) az hosszúságú, és sugarú, fegyverzetekből álló, vezetőképességű közeggel kitöltött hengerkondenzátor ellenállását!
A fegyverzetek közti feszültség mindkét esetben időben állandó!
Megoldás
a, Tegyük fel, hogy a kondenzátor lemezek közti feszültség időben állandó és így a fegyverzetek közt folyó áram stacionárius. A Gauss-tétel stacionárius áramok esetén is igaz. Azt feltételezzük, hogy a külső és belső gömbhéjakon töltések halmozódnak fel, amelyek létrehozzák az időben állandó potenciálkülönbséget. A Gauss tétel egy sugarú koncentrikus gömbre:
amiből a gömbök közötti potenciálkülönbség:
A differenciális Ohm-törvény alapján a gömbben folyó áramsűrűség nagysága:
amely áramsűrűséget az sugarú gömbfelületen integrálva megkapjuk a gömbhéjak között folyó áramot:
Ebből az Ohm-törvény alapján a gömb ellenállása:
b, A Gauss-tétel stacionárius áramok esetén is igaz. Azt feltételezzük, hogy a külső és belső hengerfelületeken töltések halmozódnak fel, amelyek létrehozzák a potenciálkülönbséget. A Gauss-tétel egy sugarú koncentrikus hengerre:
amiből a hengerek közötti potenciálkülönbség:
A differenciális Ohm-törvény alapján a hengerben folyó áramsűrűség:
amely áramsűrűséget az sugarú hengerfelületen integrálva megkapjuk a hengerek között folyó áramot:
Ebből az Ohm-törvény alapján a henger ellenállása: