„Elektrosztatika példák - Vezető anyaggal töltött kondenzátor ellenállása” változatai közötti eltérés
(→Megoldás) |
(→Megoldás) |
||
19. sor: | 19. sor: | ||
$$U = \int_a ^b \vec{E}\cdot\vec{dr} = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\cdot\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)$$ | $$U = \int_a ^b \vec{E}\cdot\vec{dr} = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\cdot\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)$$ | ||
A differenciális Ohm-törvény alapján a gömbben folyó áramsűrűség nagysága: | A differenciális Ohm-törvény alapján a gömbben folyó áramsűrűség nagysága: | ||
− | $$j = \sigma\cdot E$$ | + | $$\vec{j} = \sigma\cdot \vec{E}$$ |
$$j = \frac{\sigma Q}{4 \pi r^2 \epsilon_0}$$ | $$j = \frac{\sigma Q}{4 \pi r^2 \epsilon_0}$$ | ||
amely áramsűrűséget az $r$ sugarú gömbfelületen integrálva megkapjuk a gömbhéjak között folyó áramot: | amely áramsűrűséget az $r$ sugarú gömbfelületen integrálva megkapjuk a gömbhéjak között folyó áramot: | ||
− | $$I = \iint \vec{j}\cdot\vec{dA} = \frac{\sigma Q}{\epsilon_0}$$ | + | $$I = \iint \vec{j}\cdot\vec{dA} = \sigma \iint \vec{E}\cdot\vec{dA} \frac{\sigma Q}{\epsilon_0}$$ |
Ebből az Ohm-törvény alapján a gömb ellenállása: | Ebből az Ohm-törvény alapján a gömb ellenállása: | ||
$$R = \frac{U}{I} = \frac{1}{4 \pi\sigma}\cdot\frac{b-a}{ab}$$ | $$R = \frac{U}{I} = \frac{1}{4 \pi\sigma}\cdot\frac{b-a}{ab}$$ |
A lap 2021. március 22., 14:20-kori változata
Feladat
- Számítsuk ki az
a) és sugarú gömblemezekből álló , vezetőképességű közeggel kitöltött gömbkondenzátor; ill.
b) az hosszúságú, és sugarú, fegyverzetekből álló, vezetőképességű közeggel kitöltött hengerkondenzátor ellenállását!
A fegyverzetek közti feszültség mindkét esetben időben állandó!
Megoldás
a, Mivel a kondenzátor lemezei közti feszültség --- és így a lemezeken jelen lévő töltés nagysága is --- időben állandó, a fegyverzetek közt folyó áram stacionárius. A Gauss-tétel stacionárius áramok esetén is igaz. A Gauss tétel egy sugarú koncentrikus gömbre:
amiből a gömbök közötti potenciálkülönbség:
A differenciális Ohm-törvény alapján a gömbben folyó áramsűrűség nagysága:
amely áramsűrűséget az sugarú gömbfelületen integrálva megkapjuk a gömbhéjak között folyó áramot:
Ebből az Ohm-törvény alapján a gömb ellenállása:
b, A Gauss-tétel stacionárius áramok esetén is igaz. Azt feltételezzük, hogy a külső és belső hengerfelületeken töltések halmozódnak fel, amelyek létrehozzák a potenciálkülönbséget. A Gauss-tétel egy sugarú koncentrikus hengerre:
amiből a hengerek közötti potenciálkülönbség:
A differenciális Ohm-törvény alapján a hengerben folyó áramsűrűség:
amely áramsűrűséget az sugarú hengerfelületen integrálva megkapjuk a hengerek között folyó áramot:
Ebből az Ohm-törvény alapján a henger ellenállása: