Mechanika - Hullámfüggvény 1.

Feladat

1. (S-Je8 16.18) Egy húron terjedő transzverzális szinuszos hullám periódusideje $\setbox0\hbox{$T=25\,\rm{ms}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, és $\setbox0\hbox{$30\,\rm{\frac ms}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességgel halad $\setbox0\hbox{$-x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ irányban. Az $\setbox0\hbox{$x=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pont kitérése $\setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ban $\setbox0\hbox{$2\,\rm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, sebessége $\setbox0\hbox{$2\,\rm{\frac ms}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Mekkora a hullám amplitúdója? Mekkora a kezdőfázisa? Írjuk fel a hullámfüggvényt!

Megoldás

A hullám függvény felírásához szükséges a körfrekvencia és a hullámszám:

$\[\omega=\frac{2\pi}T=80\pi\,\rm s\]$

$\[k=\frac{\omega}c=8,38\,\rm{\frac 1m}\]$

Az amplitúdót a kezdeti feltételekből határozhatjuk meg:

$\[A=\sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{\omega^2}}=2,15\,\rm{cm}\]$

Ha a hullámfüggvényt $\setbox0\hbox{$y(x,t)=A\sin(\omega t+kx+\phi)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ alakban keressük,

$\[x_0=y(0,0)=A\sin\phi=0,02\,\rm m\]$

$\[v_0=\dot y(0,0)=A\omega\cos\phi,\]$

így

$\[\tan\phi=\frac{x_0\omega}{v_0}\]$

$\[\phi=-1,192+n\pi\]$

A kezdeti feltételek akkor teljesülnek, ha pl. $\setbox0\hbox{$n=1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, azaz $\setbox0\hbox{$\phi=\pi-1,192=1,95$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ radiánban. Végül a hullámfüggvény SI egségekben:

$\[y(x,t)=0,0215\sin(80\pi\,t+8,38x+1,95)\]$