Feladat
- (*3.3.7.)
sugarú
tömegű korong kerületére csavart fonál szabad végét felfüggesztjük. A koronghoz erősített elhanyagolható tömegű
sugarú tárcsa kerületére csavart fonál végére
tömegű testet függesztünk (mindkét fonál a korong középpontjának ugyanazon oldalán van). A rendszer függőleges síkban mozoghat. Írjuk le a rendszer mozgását!
Megoldás
Legyen a korong az 1-es test, az azt tartó kötélerő
![\setbox0\hbox{$K_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/9/7/3/973a83a0d5c0530be412dc6b34824b67.png)
, a másik test a 2-es, és a kettő közti kötélben ható erő
![\setbox0\hbox{$K_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/2/c/1/2c10901daedf97c1d0831a29f821d37f.png)
. A megadott adatokkal
![\setbox0\hbox{$\theta_{\rm{TKP}}=mR^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/4/d/a/4da40ff399ed0624aebfeadbb3db30f2.png)
. A mozgásegyenletek mozgásirányban pozitív koordinátatengelyekkel
Ez három egyenlet öt ismeretlenre (gyorulások, szöggyorsulás és kötélerők), a még hiányzó egyenletek már csak a gyorsulások és a szöggyorsulás viszonyáról szólhatnak. Ezekhez úgy jutunk, ha megnézzük, mennyit változik a két test magassága, ha a korong
![\setbox0\hbox{$\Delta\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/3/a/9/3a97811e57cc1c8c51ba74d6f088f976.png)
szögben elfordul. Mivel ekkor
![\setbox0\hbox{$\Delta l_1=\Delta\varphi R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/0/c/3/0c3094dfcb2d3a82cd1e9e29729ae33c.png)
hosszúságú kötél csavarodik le a korongról, kétszeres időderiválással
![\setbox0\hbox{$a_1=\beta R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/1/3/c/13c24a52b0e0aeff01a7c4508f753de3.png)
. Emiatt a másik test
![\setbox0\hbox{$\Delta l_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/2/c/7/2c784e4daed4f49fb79ce5c1216152af.png)
-el lejjebb kerülne, de közben a tárcsán felcsavarodik
![\setbox0\hbox{$\Delta\varphi r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/0/1/6/0161236f6acc7347733bae082985508f.png)
hosszúságú kötél, emiatt ennyivel feljebb kerülne. Összességében tehát
![\setbox0\hbox{$\Delta l_2=\Delta\varphi(R-r)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/a/a/3/aa39c473ab7dc225da65c38f1430879c.png)
a magasságváltozás, ezt kétszer idő szerint deriválva
![\setbox0\hbox{$a_2=\beta(R-r)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/9/3/a/93a5b1caee70a1117c77edf1d0e5a7f1.png)
. Áttérve a szöggyorsulásra és
![\setbox0\hbox{$K_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/2/c/1/2c10901daedf97c1d0831a29f821d37f.png)
-t behelyettesítve az első mozgásegyenletből a másik kettőbe már csak két ismeretlen és két egyenlet van. A második mozgásegyenletet
![\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/5/4/1/54103a3e809f16494f5ad6fa64c39bf2.png)
-el szorozva a másik kötélerőtől is meg lehet válni az egyenletek összeadásával, így kapható a szöggyorsulásra
.