Mechanika - Lelógatott korong tárcsával és tömeggel

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Merev testek II.
Feladatok listája:
  1. Korongon mozgatott tömegpont
  2. Lelógatott korong
  3. Lelógatott korong tárcsával és tömeggel
  4. Lépcsős csiga
  5. Tömeg rugón súlyos csigával
  6. Korong vízszintes talajon húzva
  7. Henger lejtőn
  8. Három test lejtőn
  9. Forgó henger lejtőn húzva
  10. Hokikorong és rúd ütközése
  11. Hokikorong és rúd ütközése II
  12. Felbillenés lejtőn
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. (*3.3.7.) \setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú \setbox0\hbox{$2m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű korong kerületére csavart fonál szabad végét felfüggesztjük. A koronghoz erősített elhanyagolható tömegű \setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú tárcsa kerületére csavart fonál végére \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű testet függesztünk (mindkét fonál a korong középpontjának ugyanazon oldalán van). A rendszer függőleges síkban mozoghat. Írjuk le a rendszer mozgását!
    Kfgy1 3.3.7.svg

Megoldás

Legyen a korong az 1-es test, az azt tartó kötélerő \setbox0\hbox{$K_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, a másik test a 2-es, és a kettő közti kötélben ható erő \setbox0\hbox{$K_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. A megadott adatokkal \setbox0\hbox{$\theta_{\rm{TKP}}=mR^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. A mozgásegyenletek mozgásirányban pozitív koordinátatengelyekkel
\[ma_2=mg-K_2\]
\[2ma_1=2mg+K_2-K_1\]
\[\theta_{\rm{TKP}}\beta=mR^2\cdot\beta=K_1R-K_2r\]
Ez három egyenlet öt ismeretlenre (gyorulások, szöggyorsulás és kötélerők), a még hiányzó egyenletek már csak a gyorsulások és a szöggyorsulás viszonyáról szólhatnak. Ezekhez úgy jutunk, ha megnézzük, mennyit változik a két test magassága, ha a korong \setbox0\hbox{$\Delta\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szögben elfordul. Mivel ekkor \setbox0\hbox{$\Delta l_1=\Delta\varphi R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszúságú kötél csavarodik le a korongról, kétszeres időderiválással \setbox0\hbox{$a_1=\beta R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Emiatt a másik test \setbox0\hbox{$\Delta l_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-el lejjebb kerülne, de közben a tárcsán felcsavarodik \setbox0\hbox{$\Delta\varphi r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszúságú kötél, emiatt ennyivel feljebb kerülne. Összességében tehát \setbox0\hbox{$\Delta l_2=\Delta\varphi(R-r)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a magasságváltozás, ezt kétszer idő szerint deriválva \setbox0\hbox{$a_2=\beta(R-r)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Áttérve a szöggyorsulásra és \setbox0\hbox{$K_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-t behelyettesítve az első mozgásegyenletből a másik kettőbe már csak két ismeretlen és két egyenlet van. A második mozgásegyenletet \setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-el szorozva a másik kötélerőtől is meg lehet válni az egyenletek összeadásával, így kapható a szöggyorsulásra
\[\beta=g\frac{6R-2r}{8R^2+2r^2-4rR}\]
.