Mechanika - Lelógatott korong tárcsával és tömeggel

Feladat

1. (*3.3.7.) $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú $\setbox0\hbox{$2m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű korong kerületére csavart fonál szabad végét felfüggesztjük. A koronghoz erősített elhanyagolható tömegű $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú tárcsa kerületére csavart fonál végére $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű testet függesztünk (mindkét fonál a korong középpontjának ugyanazon oldalán van). A rendszer függőleges síkban mozoghat. Írjuk le a rendszer mozgását!
   

Megoldás

Legyen a korong az 1-es test, az azt tartó kötélerő $\setbox0\hbox{$K_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a másik test a 2-es, és a kettő közti kötélben ható erő $\setbox0\hbox{$K_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A megadott adatokkal $\setbox0\hbox{$\theta_{\rm{TKP}}=mR^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A mozgásegyenletek mozgásirányban pozitív koordinátatengelyekkel

$\[ma_2=mg-K_2\]$

$\[2ma_1=2mg+K_2-K_1\]$

$\[\theta_{\rm{TKP}}\beta=mR^2\cdot\beta=K_1R-K_2r\]$

Ez három egyenlet öt ismeretlenre (gyorulások, szöggyorsulás és kötélerők), a még hiányzó egyenletek már csak a gyorsulások és a szöggyorsulás viszonyáról szólhatnak. Ezekhez úgy jutunk, ha megnézzük, mennyit változik a két test magassága, ha a korong $\setbox0\hbox{$\Delta\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szögben elfordul. Mivel ekkor $\setbox0\hbox{$\Delta l_1=\Delta\varphi R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú kötél csavarodik le a korongról, kétszeres időderiválással $\setbox0\hbox{$a_1=\beta R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Emiatt a másik test $\setbox0\hbox{$\Delta l_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-el lejjebb kerülne, de közben a tárcsán felcsavarodik $\setbox0\hbox{$\Delta\varphi r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú kötél, emiatt ennyivel feljebb kerülne. Összességében tehát $\setbox0\hbox{$\Delta l_2=\Delta\varphi(R-r)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a magasságváltozás, ezt kétszer idő szerint deriválva $\setbox0\hbox{$a_2=\beta(R-r)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Áttérve a szöggyorsulásra és $\setbox0\hbox{$K_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-t behelyettesítve az első mozgásegyenletből a másik kettőbe már csak két ismeretlen és két egyenlet van. A második mozgásegyenletet $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-el szorozva a másik kötélerőtől is meg lehet válni az egyenletek összeadásával, így kapható a szöggyorsulásra

$\[\beta=g\frac{6R-2r}{8R^2+2r^2-4rR}\]$

.