„Mechanika - Korong vízszintes talajon húzva” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
a (Megoldás)
15. sor: 15. sor:
  
 
== Megoldás ==
 
== Megoldás ==
<wlatex>A mozgásegyenletek $$ma=F-F_s$$ és $$\theta\beta=\frac12mR^2\cdot\frac aR=Fr+F_sR$$ feltéve, hogy az ismeretlen nagyságú tapadási súrlódási erő, amely a gördülést biztosítja, ellentétes irányú $F$ húzóerővel. A másik ismeretlenre, a gyorulásra, a gördülés miatt felírható, hogy $a=\beta R$, a tapadási súrlódási erőre pedig a $|F_s|\leq\mu mg$ reláció kell teljesüljön. A mozgásegyenletekből a súrlódási erőt kiejtve kapjuk $$a=\frac{2F(R+r)}{3mR}$$ kifejezést, amely pozitív, tehát a korong a rajzon jobbra gördül. A súrlódási erő kifejezése $$F_s=F\left(1-\frac{2(R+r)}{3R} \right )$$ Ha a zárójeles kifejezés pozitív, azaz $$1>\frac{2(R+r)}{3R},$$ akkor a súrlódási erő pozitív, azaz valóban a feltételezett irányú, és a tömegközéppont mozgásegyenletét tekintve fékező jellegű, emiatt $a<\frac Fm$. A fenti reláció akkor teljesül, ha $R>2r$.
+
<wlatex>A mozgásegyenletek $$ma=F-F_s$$ és $$\theta\beta=\frac12mR^2\cdot\frac aR=Fr+F_sR$$ feltéve, hogy az ismeretlen nagyságú tapadási súrlódási erő, amely a gördülést biztosítja, ellentétes irányú $F$ húzóerővel. A másik ismeretlenre, a gyorsulásra, a gördülés miatt felírható, hogy $a=\beta R$, a tapadási súrlódási erőre pedig a $|F_s|\leq\mu mg$ reláció kell teljesüljön. A mozgásegyenletekből a súrlódási erőt kiejtve kapjuk $$a=\frac{2F(R+r)}{3mR}$$ kifejezést, amely pozitív, tehát a korong a rajzon jobbra gördül. A súrlódási erő kifejezése $$F_s=F\left(1-\frac{2(R+r)}{3R} \right )$$ Ha a zárójeles kifejezés pozitív, azaz $$1>\frac{2(R+r)}{3R},$$ akkor a súrlódási erő pozitív, azaz valóban a feltételezett irányú, és a tömegközéppont mozgásegyenletét tekintve fékező jellegű, emiatt $a<\frac Fm$. A fenti reláció akkor teljesül, ha $R>2r$.
 
$R<2r$ esetén a két erő azonos irányú, és $a>\frac Fm$ (!), tehát a súrlódási erő segíti a korong gyorsítását. Speciális esetben, ha $R=2r$, $F_s=0$ adódik, tehát súrlódás nélkül is lehet gördülés tetszőleges húzóerő mellett. Egyéb esetekben a húzóerő és a tapadási súrlódási együttható között fenn kell álljon egy reláció. A súrlódási erő kifejezését továbírva $$F_s=F\frac{R-2r}{3R},$$ így $$F\frac{|R-2r|}{3R}\leq\mu mg,$$ amely adott $\mu$-re az erőt maximálja, adott erő mellett pedig minimumot ad rá nézve.
 
$R<2r$ esetén a két erő azonos irányú, és $a>\frac Fm$ (!), tehát a súrlódási erő segíti a korong gyorsítását. Speciális esetben, ha $R=2r$, $F_s=0$ adódik, tehát súrlódás nélkül is lehet gördülés tetszőleges húzóerő mellett. Egyéb esetekben a húzóerő és a tapadási súrlódási együttható között fenn kell álljon egy reláció. A súrlódási erő kifejezését továbírva $$F_s=F\frac{R-2r}{3R},$$ így $$F\frac{|R-2r|}{3R}\leq\mu mg,$$ amely adott $\mu$-re az erőt maximálja, adott erő mellett pedig minimumot ad rá nézve.
 
Ha a korong közepe alatt húzzuk a kötelet, a nyomatéki egyenletben az $Fr$ tag előjelet vált, ezért a gyorsulás kifejezése most $$a=\frac{2F(R-r)}{3mR},$$ ami továbbra is pozitív, viszont $$F_s=F\frac{R+2r}{3R}$$ mindig pozitív, azaz $a<\frac Fm$, a súrlódás mindig fékező hatású lesz. $$F\frac{R+2r}{3R}\leq\mu mg$$</wlatex>
 
Ha a korong közepe alatt húzzuk a kötelet, a nyomatéki egyenletben az $Fr$ tag előjelet vált, ezért a gyorsulás kifejezése most $$a=\frac{2F(R-r)}{3mR},$$ ami továbbra is pozitív, viszont $$F_s=F\frac{R+2r}{3R}$$ mindig pozitív, azaz $a<\frac Fm$, a súrlódás mindig fékező hatású lesz. $$F\frac{R+2r}{3R}\leq\mu mg$$</wlatex>
 
</noinclude>
 
</noinclude>

A lap 2013. augusztus 26., 12:19-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Merev testek II.
Feladatok listája:
  1. Korongon mozgatott tömegpont
  2. Lelógatott korong
  3. Lelógatott korong tárcsával és tömeggel
  4. Lépcsős csiga
  5. Tömeg rugón súlyos csigával
  6. Korong vízszintes talajon húzva
  7. Henger lejtőn
  8. Három test lejtőn
  9. Forgó henger lejtőn húzva
  10. Hokikorong és rúd ütközése
  11. Hokikorong és rúd ütközése II
  12. Felbillenés lejtőn
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. (*3.3.13.) Vízszintes lapon álló \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű koronghoz erősített elhanyagolható tömegű tárcsa kerületére csavart fonalat vízszintes irányban állandó \setbox0\hbox{$F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% erővel húzunk. A korong sugara \setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, a tárcsa sugara \setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.(A fonalat a korong középpontja fölött húzzuk.)
    3.3.13.svg
    a) Mekkora gyorsulással mozog a korong középpontja?
    b) Mi a talaj és a korong között fellépő súrlódási erő szerepe a korong középpontjának gyorsításánál?
    c) Mekkora \setbox0\hbox{$\mu_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% súrlódási együttható szükséges ahhoz, hogy a korong a talajon csúszás nélkül gördülhessen?
    d) Oldjuk meg a feladatot arra az esetre is, ha a fonalat a korong középpontja alatt húzzuk a talaj síkjával párhuzamosan!

Megoldás

A mozgásegyenletek
\[ma=F-F_s\]
és
\[\theta\beta=\frac12mR^2\cdot\frac aR=Fr+F_sR\]
feltéve, hogy az ismeretlen nagyságú tapadási súrlódási erő, amely a gördülést biztosítja, ellentétes irányú \setbox0\hbox{$F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% húzóerővel. A másik ismeretlenre, a gyorsulásra, a gördülés miatt felírható, hogy \setbox0\hbox{$a=\beta R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, a tapadási súrlódási erőre pedig a \setbox0\hbox{$|F_s|\leq\mu mg$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% reláció kell teljesüljön. A mozgásegyenletekből a súrlódási erőt kiejtve kapjuk
\[a=\frac{2F(R+r)}{3mR}\]
kifejezést, amely pozitív, tehát a korong a rajzon jobbra gördül. A súrlódási erő kifejezése
\[F_s=F\left(1-\frac{2(R+r)}{3R} \right )\]
Ha a zárójeles kifejezés pozitív, azaz
\[1>\frac{2(R+r)}{3R},\]
akkor a súrlódási erő pozitív, azaz valóban a feltételezett irányú, és a tömegközéppont mozgásegyenletét tekintve fékező jellegű, emiatt \setbox0\hbox{$a<\frac Fm$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. A fenti reláció akkor teljesül, ha \setbox0\hbox{$R>2r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. \setbox0\hbox{$R<2r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% esetén a két erő azonos irányú, és \setbox0\hbox{$a>\frac Fm$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% (!), tehát a súrlódási erő segíti a korong gyorsítását. Speciális esetben, ha \setbox0\hbox{$R=2r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$F_s=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% adódik, tehát súrlódás nélkül is lehet gördülés tetszőleges húzóerő mellett. Egyéb esetekben a húzóerő és a tapadási súrlódási együttható között fenn kell álljon egy reláció. A súrlódási erő kifejezését továbírva
\[F_s=F\frac{R-2r}{3R},\]
így
\[F\frac{|R-2r|}{3R}\leq\mu mg,\]
amely adott \setbox0\hbox{$\mu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-re az erőt maximálja, adott erő mellett pedig minimumot ad rá nézve. Ha a korong közepe alatt húzzuk a kötelet, a nyomatéki egyenletben az \setbox0\hbox{$Fr$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tag előjelet vált, ezért a gyorsulás kifejezése most
\[a=\frac{2F(R-r)}{3mR},\]
ami továbbra is pozitív, viszont
\[F_s=F\frac{R+2r}{3R}\]
mindig pozitív, azaz \setbox0\hbox{$a<\frac Fm$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, a súrlódás mindig fékező hatású lesz.
\[F\frac{R+2r}{3R}\leq\mu mg\]