„Elektrosztatika példák - Változó permittivitású dielektrikummal töltött gömbkondenzátor” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(→Feladat) |
(→Megoldás) |
||
13. sor: | 13. sor: | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
− | Ha a belső gömb felületére felviszünk $Q$ töltést, akkor a Gauss-tétel miatt a két gömb közötti térészben az elektromos eltolás a következőképpen változik: | + | Ha a belső gömb felületére felviszünk $Q$ töltést, akkor a Gauss-tétel miatt a két gömb közötti térészben az elektromos eltolás nagysága a következőképpen változik: |
− | $$ | + | $$D = \frac{Q}{4\pi r^2}$$ |
− | Az elektromos | + | Az elektromos tér nagyságát a következőképpen számolhatjuk ki az elektromos eltolásból: |
− | $$ | + | $$E = \frac{D}{\epsilon_{0} \epsilon\left(r\right)} = \frac{Q}{4\pi r^2\epsilon_0\epsilon\left(r\right)}$$ |
− | Ebből következik, hogy ha a kondenzátor | + | Ebből következik, hogy ha a kondenzátor fegyverzetei között homogén elekromos tér van, akkor |
$$\epsilon\left(r\right) = \frac{\alpha}{r^2}$$ | $$\epsilon\left(r\right) = \frac{\alpha}{r^2}$$ | ||
ahol $\alpha$ egy négyzetméter dimenziójú, tetszőleges konstans. | ahol $\alpha$ egy négyzetméter dimenziójú, tetszőleges konstans. | ||
− | A kondenzátor kapacitásának meghatározásához | + | A kondenzátor kapacitásának meghatározásához először a fegyverzetek közötti potenciál különbséget kell meghatároznunk. Mivel a fegyverzetek között az elektromos tér konstans, ezért a potenciálkülönbség: |
$$U = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0\alpha}\cdot\left(R-r\right)$$ | $$U = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0\alpha}\cdot\left(R-r\right)$$ | ||
Amiből kiszámolható a kondenzátor kapacitása: | Amiből kiszámolható a kondenzátor kapacitása: |
A lap jelenlegi, 2013. szeptember 14., 20:01-kori változata
Feladat
- Az
és az
sugarú koncentrikus gömb közötti térrészt inhomogén szigetelő tölt ki, amelynek permittivitása a közös centrumtól mért távolság függvénye. Milyen függvény szerint kell változnia a permittivitásnak, hogy a kondenzátort feltöltve az elektromos térerősség nagysága az egész térrészben állandó legyen? Számítsuk ki ezen kondenzátor kapacitását!
Megoldás
Ha a belső gömb felületére felviszünk töltést, akkor a Gauss-tétel miatt a két gömb közötti térészben az elektromos eltolás nagysága a következőképpen változik:
![\[D = \frac{Q}{4\pi r^2}\]](/images/math/5/1/8/5183d51f92266fae41fec88ba15d9401.png)
Az elektromos tér nagyságát a következőképpen számolhatjuk ki az elektromos eltolásból:
![\[E = \frac{D}{\epsilon_{0} \epsilon\left(r\right)} = \frac{Q}{4\pi r^2\epsilon_0\epsilon\left(r\right)}\]](/images/math/a/b/4/ab4e58d2da3e2f29140d432e9960c5c9.png)
Ebből következik, hogy ha a kondenzátor fegyverzetei között homogén elekromos tér van, akkor
![\[\epsilon\left(r\right) = \frac{\alpha}{r^2}\]](/images/math/6/d/4/6d45c060c4d956c5b5ba7d246bca5e1f.png)
ahol egy négyzetméter dimenziójú, tetszőleges konstans.
A kondenzátor kapacitásának meghatározásához először a fegyverzetek közötti potenciál különbséget kell meghatároznunk. Mivel a fegyverzetek között az elektromos tér konstans, ezért a potenciálkülönbség:
![\[U = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0\alpha}\cdot\left(R-r\right)\]](/images/math/7/0/6/7061c10882651473ade1b62c373c3fcd.png)
Amiből kiszámolható a kondenzátor kapacitása:
![\[C = \frac{4\pi\epsilon_0\alpha}{R-r}\]](/images/math/1/f/c/1fc8e2bb621672b1620472c6e78854dc.png)