„Mechanika - Korong vízszintes talajon húzva” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(→Feladat) |
(→Feladat) |
||
(2 szerkesztő 4 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex># (*3.3.13.) Vízszintes lapon álló $m$ tömegű koronghoz erősített elhanyagolható tömegű tárcsa kerületére csavart fonalat vízszintes irányban állandó $F$ erővel húzunk. A korong sugara $R$, a tárcsa sugara $r$.(A fonalat a korong középpontja fölött húzzuk.) | + | </noinclude><wlatex># (*3.3.13.) Vízszintes lapon álló $m$ tömegű koronghoz erősített elhanyagolható tömegű tárcsa kerületére csavart fonalat vízszintes irányban állandó $F$ erővel húzunk. A korong sugara $R$, a tárcsa sugara $r$.(A fonalat a korong középpontja fölött húzzuk.) [[Kép:3.3.13.svg|none|350px]] |
− | + | #:a) Mekkora gyorsulással mozog a korong középpontja? | |
− | [[Kép:3.3.13.svg|none| | + | #:b) Mi a talaj és a korong között fellépő súrlódási erő szerepe a korong középpontjának gyorsításánál? |
− | #: a) Mekkora gyorsulással mozog a korong középpontja? | + | #:c) Mekkora $\mu_0$ súrlódási együttható szükséges ahhoz, hogy a korong a talajon csúszás nélkül gördülhessen? |
− | #: b) Mi a talaj és a korong között fellépő súrlódási erő szerepe a korong középpontjának gyorsításánál? | + | #:d) Oldjuk meg a feladatot arra az esetre is, ha a fonalat a korong középpontja alatt húzzuk a talaj síkjával párhuzamosan! </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Vegyünk fel tetszőleges irányú súrlódási erőt a rajzon, mivel ez az erő ismeretlen. A rajznak megfelelően kell viszont az egygenletekben előjelet kapnia Gördülésnél a súrlódási erő tapadási.}}{{Végeredmény|content=$$a=\frac{2F(R+r)}{3mR}$$ A súrlódási erő iránya kétféle is lehet $r$-től függően. $$F\frac{|R-2r|}{3R}\leq\mu mg$$ ami akár nulla is lehet. A d) esetben $$a=\frac{2F(R-r)}{3mR}$$ A súrlódási erő mindig fékező. $$F\frac{R+2r}{3R}\leq\mu mg$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
− | #: c) Mekkora $\mu_0$ súrlódási együttható szükséges ahhoz, hogy a korong a talajon csúszás nélkül gördülhessen? | + | |
− | #: d) Oldjuk meg a feladatot arra az esetre is, ha a fonalat a korong középpontja alatt húzzuk a talaj síkjával párhuzamosan!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Vegyünk fel tetszőleges irányú súrlódási erőt a rajzon, mivel ez az erő ismeretlen. A rajznak megfelelően kell viszont az egygenletekben előjelet kapnia Gördülésnél a súrlódási erő tapadási.}}{{Végeredmény|content=$$a=\frac{2F(R+r)}{3mR}$$ A súrlódási erő iránya kétféle is lehet $r$-től függően. $$F\frac{|R-2r|}{3R}\leq\mu mg$$ ami akár nulla is lehet. A d) esetben $$a=\frac{2F(R-r)}{3mR}$$ A súrlódási erő mindig fékező. $$F\frac{R+2r}{3R}\leq\mu mg$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | + | |
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
− | <wlatex>A mozgásegyenletek $$ma=F-F_s$$ és $$\theta\beta=\frac12mR^2\cdot\frac aR=Fr+F_sR$$ feltéve, hogy az ismeretlen nagyságú tapadási súrlódási erő, amely a gördülést biztosítja, ellentétes irányú $F$ húzóerővel. A másik ismeretlenre, a | + | <wlatex>A mozgásegyenletek $$ma=F-F_s$$ és $$\theta\beta=\frac12mR^2\cdot\frac aR=Fr+F_sR$$ feltéve, hogy az ismeretlen nagyságú tapadási súrlódási erő, amely a gördülést biztosítja, ellentétes irányú $F$ húzóerővel. A másik ismeretlenre, a gyorsulásra, a gördülés miatt felírható, hogy $a=\beta R$, a tapadási súrlódási erőre pedig a $|F_s|\leq\mu mg$ reláció kell teljesüljön. A mozgásegyenletekből a súrlódási erőt kiejtve kapjuk $$a=\frac{2F(R+r)}{3mR}$$ kifejezést, amely pozitív, tehát a korong a rajzon jobbra gördül. A súrlódási erő kifejezése $$F_s=F\left(1-\frac{2(R+r)}{3R} \right )$$ Ha a zárójeles kifejezés pozitív, azaz $$1>\frac{2(R+r)}{3R},$$ akkor a súrlódási erő pozitív, azaz valóban a feltételezett irányú, és a tömegközéppont mozgásegyenletét tekintve fékező jellegű, emiatt $a<\frac Fm$. A fenti reláció akkor teljesül, ha $R>2r$. |
$R<2r$ esetén a két erő azonos irányú, és $a>\frac Fm$ (!), tehát a súrlódási erő segíti a korong gyorsítását. Speciális esetben, ha $R=2r$, $F_s=0$ adódik, tehát súrlódás nélkül is lehet gördülés tetszőleges húzóerő mellett. Egyéb esetekben a húzóerő és a tapadási súrlódási együttható között fenn kell álljon egy reláció. A súrlódási erő kifejezését továbírva $$F_s=F\frac{R-2r}{3R},$$ így $$F\frac{|R-2r|}{3R}\leq\mu mg,$$ amely adott $\mu$-re az erőt maximálja, adott erő mellett pedig minimumot ad rá nézve. | $R<2r$ esetén a két erő azonos irányú, és $a>\frac Fm$ (!), tehát a súrlódási erő segíti a korong gyorsítását. Speciális esetben, ha $R=2r$, $F_s=0$ adódik, tehát súrlódás nélkül is lehet gördülés tetszőleges húzóerő mellett. Egyéb esetekben a húzóerő és a tapadási súrlódási együttható között fenn kell álljon egy reláció. A súrlódási erő kifejezését továbírva $$F_s=F\frac{R-2r}{3R},$$ így $$F\frac{|R-2r|}{3R}\leq\mu mg,$$ amely adott $\mu$-re az erőt maximálja, adott erő mellett pedig minimumot ad rá nézve. | ||
Ha a korong közepe alatt húzzuk a kötelet, a nyomatéki egyenletben az $Fr$ tag előjelet vált, ezért a gyorsulás kifejezése most $$a=\frac{2F(R-r)}{3mR},$$ ami továbbra is pozitív, viszont $$F_s=F\frac{R+2r}{3R}$$ mindig pozitív, azaz $a<\frac Fm$, a súrlódás mindig fékező hatású lesz. $$F\frac{R+2r}{3R}\leq\mu mg$$</wlatex> | Ha a korong közepe alatt húzzuk a kötelet, a nyomatéki egyenletben az $Fr$ tag előjelet vált, ezért a gyorsulás kifejezése most $$a=\frac{2F(R-r)}{3mR},$$ ami továbbra is pozitív, viszont $$F_s=F\frac{R+2r}{3R}$$ mindig pozitív, azaz $a<\frac Fm$, a súrlódás mindig fékező hatású lesz. $$F\frac{R+2r}{3R}\leq\mu mg$$</wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap jelenlegi, 2013. november 13., 16:46-kori változata
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika gyakorlat 1. |
Gyakorlatok listája: |
Mechanika - Merev testek II. |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- (*3.3.13.) Vízszintes lapon álló
tömegű koronghoz erősített elhanyagolható tömegű tárcsa kerületére csavart fonalat vízszintes irányban állandó
erővel húzunk. A korong sugara
, a tárcsa sugara
.(A fonalat a korong középpontja fölött húzzuk.)
- a) Mekkora gyorsulással mozog a korong középpontja?
- b) Mi a talaj és a korong között fellépő súrlódási erő szerepe a korong középpontjának gyorsításánál?
- c) Mekkora
súrlódási együttható szükséges ahhoz, hogy a korong a talajon csúszás nélkül gördülhessen?
- d) Oldjuk meg a feladatot arra az esetre is, ha a fonalat a korong középpontja alatt húzzuk a talaj síkjával párhuzamosan!
Megoldás
A mozgásegyenletek![\[ma=F-F_s\]](/images/math/2/8/c/28c2a402d22df7644117646181ed5510.png)
![\[\theta\beta=\frac12mR^2\cdot\frac aR=Fr+F_sR\]](/images/math/1/d/1/1d19b3599fab42cc576d567b23ee2d1b.png)
![\setbox0\hbox{$F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/3/6/d/36dc8c2a2bb35571bed7e21189191fd4.png)
![\setbox0\hbox{$a=\beta R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/c/c/5/cc5ef75984b30a99070b3d9d52d0489c.png)
![\setbox0\hbox{$|F_s|\leq\mu mg$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/2/4/4/2442a1a4bbdb9727c9ec0eb00d72f43a.png)
![\[a=\frac{2F(R+r)}{3mR}\]](/images/math/1/4/f/14fea7cbad5e618c0756bb75b048707c.png)
![\[F_s=F\left(1-\frac{2(R+r)}{3R} \right )\]](/images/math/0/0/c/00c444ef7ab0dba64ed37d4b79a7699b.png)
![\[1>\frac{2(R+r)}{3R},\]](/images/math/3/b/e/3befc8f619ab68a767881280b301fdfe.png)
![\setbox0\hbox{$a<\frac Fm$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/c/0/4/c042da6c1897ea8402d4c567e3712dc4.png)
![\setbox0\hbox{$R>2r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/b/5/2/b52a0813628c256605d826f576fcece5.png)
![\setbox0\hbox{$R<2r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/b/4/8/b48d4df867bd823acc93da9e0731fe0b.png)
![\setbox0\hbox{$a>\frac Fm$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/0/d/6/0d6f3cb2a2ca71ea9f87c2a8c8430414.png)
![\setbox0\hbox{$R=2r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/0/6/6/066c9eed866eab32d9a00ab5cbfd26b9.png)
![\setbox0\hbox{$F_s=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/e/4/f/e4f4e8ea1513a2507ccd74dfb2414651.png)
![\[F_s=F\frac{R-2r}{3R},\]](/images/math/9/e/c/9ec737c1b277cd9138a2432c62dda78c.png)
![\[F\frac{|R-2r|}{3R}\leq\mu mg,\]](/images/math/1/7/5/175cf74cb1fa9edf2544b98ce2e60ebe.png)
![\setbox0\hbox{$\mu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/4/0/6/406a95c022aaa34b66da7e0af45ec006.png)
![\setbox0\hbox{$Fr$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/d/5/1/d5157e17731a09ac2f12627b5f7d646a.png)
![\[a=\frac{2F(R-r)}{3mR},\]](/images/math/2/d/a/2da4ee3092652525399ceb7fc262f22c.png)
![\[F_s=F\frac{R+2r}{3R}\]](/images/math/e/9/9/e99785c7eda0ccc2414c86543315dfda.png)
![\setbox0\hbox{$a<\frac Fm$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/c/0/4/c042da6c1897ea8402d4c567e3712dc4.png)
![\[F\frac{R+2r}{3R}\leq\mu mg\]](/images/math/6/3/2/632ce9fdb826c13954fc7e4d49edcf26.png)