„Elektrosztatika példák - Hengeres vezetékből és végtelen vezető síkból álló rendszer kapacitása” változatai közötti eltérés
(→Megoldás) |
|||
(egy szerkesztő 3 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex>#$l$ hosszúságú egyenes hengeres vezeték párhuzamosan helyezkedik el egy végtelen vezető síkkal. A vezeték keresztmetszetének sugara $a$, a távolság a vezeték | + | </noinclude><wlatex>#$l$ hosszúságú egyenes hengeres vezeték párhuzamosan helyezkedik el egy végtelen vezető síkkal. A vezeték keresztmetszetének sugara $a$, a távolság a vezeték síkhoz legközelebbi pontja és a sík között $d$. Mekkora a rendszer kapacitása? ($a<<d<<l$) </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$C=2C^*=\dfrac{2 \pi l \varepsilon_0}{ln \left( \dfrac{2d-a}{a} \right)}$$}} |
</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
+ | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
Induljunk ki az előző, [[Elektrosztatika példák - Párhuzamos hengeres vezetékek kapacitása|Párhuzamos hengeres vezetékek kapacitása]] megoldásából. Ott kiszámítottuk, hogy két egymástól $b$ távolságra levő párhuzamos, $a$ sugarú, $l$ hosszúságú fémhenger kapacitása: | Induljunk ki az előző, [[Elektrosztatika példák - Párhuzamos hengeres vezetékek kapacitása|Párhuzamos hengeres vezetékek kapacitása]] megoldásából. Ott kiszámítottuk, hogy két egymástól $b$ távolságra levő párhuzamos, $a$ sugarú, $l$ hosszúságú fémhenger kapacitása: | ||
− | $$C^*=\dfrac{\pi l \varepsilon_0}{ln \left( \dfrac{b | + | $$C^*=\dfrac{\pi l \varepsilon_0}{ln \left( \dfrac{b}{a} \right)}$$ |
− | Válasszuk a hengerek távolságát $b=2d$- | + | Válasszuk a hengerek távolságát $b=2d+a$-nak (a $b$ paraméter jelentését, lsd. 4. feladat ábráján). Ebben az esetben a kapacitás:\ |
− | $$C^*=\dfrac{\pi l \varepsilon_0}{ln \left( \dfrac{2d | + | $$C^*=\dfrac{\pi l \varepsilon_0}{ln \left( \dfrac{2d}{a} \right)}$$ |
Vegyük észre, hogy a párhuzamos hengerek 1. ábrán jelölt szimmetriasíkja egy ekvipotenciális felület. Ez könnyen belátható, hiszen ezt a síkot az elektromos tér erővonalai mindenütt merőlegesen döfik. Emiatt a síkban egy próbatöltést tetszőlegesen mozgathatunk munkavégzés nélkül, tehát a sík pontjai azonos potenciálon vannak. | Vegyük észre, hogy a párhuzamos hengerek 1. ábrán jelölt szimmetriasíkja egy ekvipotenciális felület. Ez könnyen belátható, hiszen ezt a síkot az elektromos tér erővonalai mindenütt merőlegesen döfik. Emiatt a síkban egy próbatöltést tetszőlegesen mozgathatunk munkavégzés nélkül, tehát a sík pontjai azonos potenciálon vannak. | ||
30. sor: | 31. sor: | ||
Ebből kifejezve $C$-t: | Ebből kifejezve $C$-t: | ||
− | $$C=2C^*=\dfrac{2 \pi l \varepsilon_0}{ln \left( \dfrac{2d | + | $$C=2C^*=\dfrac{2 \pi l \varepsilon_0}{ln \left( \dfrac{2d}{a} \right)}$$ |
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap jelenlegi, 2021. március 8., 14:49-kori változata
Feladat
hosszúságú egyenes hengeres vezeték párhuzamosan helyezkedik el egy végtelen vezető síkkal. A vezeték keresztmetszetének sugara
, a távolság a vezeték síkhoz legközelebbi pontja és a sík között
. Mekkora a rendszer kapacitása? (
)
Megoldás
Induljunk ki az előző, Párhuzamos hengeres vezetékek kapacitása megoldásából. Ott kiszámítottuk, hogy két egymástól távolságra levő párhuzamos,
sugarú,
hosszúságú fémhenger kapacitása:
![\[C^*=\dfrac{\pi l \varepsilon_0}{ln \left( \dfrac{b}{a} \right)}\]](/images/math/6/d/0/6d0f20230c4c3da1cce5324740eb4de0.png)
Válasszuk a hengerek távolságát -nak (a
paraméter jelentését, lsd. 4. feladat ábráján). Ebben az esetben a kapacitás:\
![\[C^*=\dfrac{\pi l \varepsilon_0}{ln \left( \dfrac{2d}{a} \right)}\]](/images/math/5/b/b/5bb9308a65dafa9d13a7b6d00e00b9c9.png)
Vegyük észre, hogy a párhuzamos hengerek 1. ábrán jelölt szimmetriasíkja egy ekvipotenciális felület. Ez könnyen belátható, hiszen ezt a síkot az elektromos tér erővonalai mindenütt merőlegesen döfik. Emiatt a síkban egy próbatöltést tetszőlegesen mozgathatunk munkavégzés nélkül, tehát a sík pontjai azonos potenciálon vannak.
S ha így van, egy vékony fémlapot is elhelyezhetünk ebben a síkban anélkül, hogy az elektromos tér változást szenvedne. Az így kapott elrendezés ekvivalens két sorba kapcsolt síklap-henger kondenzátorral, mely a jelen feladat kitűzésében szerepel. Gondolatkísérletünkkel tehát beláttuk, hogy a kapacitású síklap-henger kondenzátor, és a fent hivatkozott
kapacitású henger-henger kondenzátor kapacitásaira igaz az alábbi összefüggés:
![\[\dfrac{1}{C^*}=\dfrac{1}{C}+\dfrac{1}{C}\]](/images/math/4/b/c/4bc39599f289f17b0320b715b2d0ff1e.png)
Ebből kifejezve -t:
![\[C=2C^*=\dfrac{2 \pi l \varepsilon_0}{ln \left( \dfrac{2d}{a} \right)}\]](/images/math/8/c/d/8cd3115934f50c80549049f8c1d87c65.png)