„Mechanika - Lelógatott korong” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(→Megoldás) |
(→Megoldás) |
||
| (egy szerkesztő egy közbeeső változata nincs mutatva) | |||
| 10. sor: | 10. sor: | ||
</noinclude><wlatex># (3.3.6.) $R$ sugarú $m$ tömegű korong kerületére csavart fonál végét rögzítjük, és a korongot elengedjük. | </noinclude><wlatex># (3.3.6.) $R$ sugarú $m$ tömegű korong kerületére csavart fonál végét rögzítjük, és a korongot elengedjük. | ||
#: a) Írjuk le a korong mozgását! | #: a) Írjuk le a korong mozgását! | ||
| − | #: b) Mekkora a korong $\omega$ szögsebessége és középpontjának $v$ sebessége, ha a korong kezdősebesség nélkül indult és mozgása során a korongról $l$ hosszúságú fonaldarab csavarodott le? | + | #: b) Mekkora a korong $\omega$ szögsebessége és középpontjának $v$ sebessége, ha a korong kezdősebesség nélkül indult és mozgása során a korongról $l$ hosszúságú fonaldarab csavarodott le? [[Kép:3.3.6.svg|none|250px]]</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$\beta=\frac{2g}{3R}$$ $$K=\frac{mg}3$$ $$\omega=\sqrt{\frac{4gl}{3R^2}}$$ $$v=\sqrt{\frac43 gl}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
| + | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex>A mozgásegyenletek $$ma=mg-K$$ illetve $$\theta_{\rm{TKP}}\beta=KR,$$ ahol $mg$ a korong középpontjában támadó lefelé irányuló nehézségi erő, és $K$ a kerületén támadó, fölfelé irányuló kötélerő, $\theta_{\rm{TKP}}=\frac12mR^2$ pedig a tömegközéppontra vonatkozó tehetetlenségi nyomaték. Az lecsavarodó fonálból adódik, hogy $a=R\beta$. Az egyenleteket $\beta$-ra és $K$-ra megoldva kapjuk $$\beta=\frac{2g}{3R}$$ és $$K=\frac{mg}3$$ megoldásokat. Ha a fonál $l$ hosszon csavarodott le, a tömegközéppont is ennyivel került lejjebb. A gyorsulások viszonya miatt $v=\omega R$, és az energiamegmaradás $$mgl=\frac12 \theta \omega^2$$ ahol $\theta=\frac32 mR^2$ a pillanatnyi forgáspontra nézve. A jobb oldalon álló forgási energia megegyezik a tömegközéppont mozgási, és az akörüli forgási energiával, ahol azonban a tömegközépponti tehetetlenségi nyomatékot kell használni! Végül $$\omega=\sqrt{\frac{4gl}{3R^2}}$$ $$v=\sqrt{\frac43 gl}$$ | <wlatex>A mozgásegyenletek $$ma=mg-K$$ illetve $$\theta_{\rm{TKP}}\beta=KR,$$ ahol $mg$ a korong középpontjában támadó lefelé irányuló nehézségi erő, és $K$ a kerületén támadó, fölfelé irányuló kötélerő, $\theta_{\rm{TKP}}=\frac12mR^2$ pedig a tömegközéppontra vonatkozó tehetetlenségi nyomaték. Az lecsavarodó fonálból adódik, hogy $a=R\beta$. Az egyenleteket $\beta$-ra és $K$-ra megoldva kapjuk $$\beta=\frac{2g}{3R}$$ és $$K=\frac{mg}3$$ megoldásokat. Ha a fonál $l$ hosszon csavarodott le, a tömegközéppont is ennyivel került lejjebb. A gyorsulások viszonya miatt $v=\omega R$, és az energiamegmaradás $$mgl=\frac12 \theta \omega^2$$ ahol $\theta=\frac32 mR^2$ a pillanatnyi forgáspontra nézve. A jobb oldalon álló forgási energia megegyezik a tömegközéppont mozgási, és az akörüli forgási energiával, ahol azonban a tömegközépponti tehetetlenségi nyomatékot kell használni! Végül $$\omega=\sqrt{\frac{4gl}{3R^2}}$$ $$v=\sqrt{\frac43 gl}$$ | ||
| − | + | </wlatex> | |
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap jelenlegi, 2013. június 20., 11:59-kori változata
| Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika gyakorlat 1. |
| Gyakorlatok listája: |
| Mechanika - Merev testek II. |
| Feladatok listája: |
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- (3.3.6.)
sugarú 
tömegű korong kerületére csavart fonál végét rögzítjük, és a korongot elengedjük.
- a) Írjuk le a korong mozgását!
- b) Mekkora a korong
szögsebessége és középpontjának 
sebessége, ha a korong kezdősebesség nélkül indult és mozgása során a korongról 
hosszúságú fonaldarab csavarodott le? 
Megoldás
A mozgásegyenletek![\[ma=mg-K\]](/images/math/e/2/2/e22302ddebe0869cc2c18e478e070415.png)
![\[\theta_{\rm{TKP}}\beta=KR,\]](/images/math/3/f/1/3f193bdce74088c14c795bf11a902979.png)
a korong középpontjában támadó lefelé irányuló nehézségi erő, és 
a kerületén támadó, fölfelé irányuló kötélerő, 
pedig a tömegközéppontra vonatkozó tehetetlenségi nyomaték. Az lecsavarodó fonálból adódik, hogy 
. Az egyenleteket 
-ra és -ra megoldva kapjuk ![\[\beta=\frac{2g}{3R}\]](/images/math/c/6/a/c6af796891b7a163698d29903524966c.png)
![\[K=\frac{mg}3\]](/images/math/5/2/7/52725fae775e2fae11b0ff221c1c53ea.png)
hosszon csavarodott le, a tömegközéppont is ennyivel került lejjebb. A gyorsulások viszonya miatt 
, és az energiamegmaradás ![\[mgl=\frac12 \theta \omega^2\]](/images/math/0/a/c/0ac4e93f5b9010e74bbdcbf2d1a22990.png)
a pillanatnyi forgáspontra nézve. A jobb oldalon álló forgási energia megegyezik a tömegközéppont mozgási, és az akörüli forgási energiával, ahol azonban a tömegközépponti tehetetlenségi nyomatékot kell használni! Végül ![\[\omega=\sqrt{\frac{4gl}{3R^2}}\]](/images/math/5/9/d/59d2cc5504905104ac1e8e187ab1e258.png)
![\[v=\sqrt{\frac43 gl}\]](/images/math/5/7/a/57a92411e8d0a4b01ec5b3e9920a3958.png)
