„Elektrosztatika példák - Dielektriumba helyezett fémgömb potenciáltere” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(→Feladat) |
|||
| (egy szerkesztő 5 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
| 8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
| − | </noinclude><wlatex># Egy $R_1$ sugarú, egyenletesen töltött | + | </noinclude><wlatex># Egy $R_1$ sugarú, $\omega$ felületi töltéssűrűséggel egyenletesen töltött fémgömböt egy $d$ vastagságú, $\epsilon_r$ permittivitásű szigetelővel veszünk körbe. Hogyan függ a potenciál a centrumtól mért távolságtól? |
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk a Gauss tételt a különböző tartományokra!}}{{Végeredmény|content=Vagyis ha $R_2<r$ akkor $$U = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot r\cdot\epsilon_0\cdot}$$ Ha $R_1<r<R_2$ akkor $$U = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot R_2\cdot\epsilon_0\cdot}+\frac{Q}{4\cdot\pi\cdot\epsilon_0\cdot\epsilon_r}\cdot\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{R_2}\right)$$ A gömb belsejében pedig konstans ptenciál van, amelynek értéke: $$U = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot R_2\cdot\epsilon_0\cdot}+\frac{Q}{4\cdot\pi\cdot\epsilon_0\cdot\epsilon_r}\cdot\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right) $$}} | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk a Gauss tételt a különböző tartományokra!}}{{Végeredmény|content=Vagyis ha $R_2<r$ akkor $$U = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot r\cdot\epsilon_0\cdot}$$ Ha $R_1<r<R_2$ akkor $$U = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot R_2\cdot\epsilon_0\cdot}+\frac{Q}{4\cdot\pi\cdot\epsilon_0\cdot\epsilon_r}\cdot\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{R_2}\right)$$ A gömb belsejében pedig konstans ptenciál van, amelynek értéke: $$U = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot R_2\cdot\epsilon_0\cdot}+\frac{Q}{4\cdot\pi\cdot\epsilon_0\cdot\epsilon_r}\cdot\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right) $$}} | ||
</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
| + | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
| − | Legyen a külső gömb sugara $R_2 = R_1+d$, töltése pedig $Q$. Írjuk fel a Gauss-tételt | + | Legyen a külső gömb sugara $R_2 = R_1+d$, töltése pedig $Q$. Írjuk fel a Gauss-tételt egy $r$ sugarú gömbre, amely koncentrikus $R_1$-el és $R_2$-vel. |
| − | $$\ | + | $$\int \int\vec{D}\cdot{\vec{dA}} = Q$$ |
| − | Ha $r<R_1$ akkor $\vec{D} = 0$ és $\vec{E} = 0$ hiszen az integrálási tartományon belül nem található töltés. | + | Ha $r<R_1$, akkor $\vec{D} = 0$ és $\vec{E} = 0$, hiszen az integrálási tartományon belül nem található töltés. |
| − | Ha $r>R_1$, akkor | + | Ha $r>R_1$, akkor az elektromos eltolás nagysága a következő: |
| − | $$D\cdot 4\cdot\pi\cdot r = Q \Rightarrow D = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot r^2}$$ | + | $$D\cdot 4\cdot\pi\cdot r^2 = Q \Rightarrow D = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot r^2}$$ |
| − | Az elektromos tér pedig | + | |
| − | + | Az ebből származtatható elektromos tér nagysága pedig függ a gömböt koncentrikusan körülvevő anyag dielektromos állandójától: $$E = \frac{D}{\epsilon_0\cdot\epsilon_r}$$. | |
| − | $R_1<r<R_2$ | + | |
| + | Így az elektromos tér a dielektrikum rétegben ($R_1<r<R_2$): | ||
| + | |||
$$E = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot r^2\cdot\epsilon_0\cdot\epsilon_r}$$ | $$E = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot r^2\cdot\epsilon_0\cdot\epsilon_r}$$ | ||
| − | + | ||
| + | A dielektrikum rétegen kívül ($R_2<r$) : | ||
$$E = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot r^2\cdot\epsilon_0}$$ | $$E = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot r^2\cdot\epsilon_0}$$ | ||
| − | A | + | |
| + | |||
| + | A potenciált az $r$ függvényében a következő integrál adja meg: | ||
$$U\left(r\right) = -\int_\infty^r E\left(\tilde{r}\right)\cdot d\tilde{r}$$ | $$U\left(r\right) = -\int_\infty^r E\left(\tilde{r}\right)\cdot d\tilde{r}$$ | ||
| − | + | A dielektrikum rétegen kívül: ($R_2<r$) | |
$$U = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot r\cdot\epsilon_0\cdot}$$ | $$U = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot r\cdot\epsilon_0\cdot}$$ | ||
| − | + | A dielektrikumban: ($R_1<r<R_2$) | |
$$U = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot R_2\cdot\epsilon_0\cdot}+\frac{Q}{4\cdot\pi\cdot\epsilon_0\cdot\epsilon_r}\cdot\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{R_2}\right)$$ | $$U = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot R_2\cdot\epsilon_0\cdot}+\frac{Q}{4\cdot\pi\cdot\epsilon_0\cdot\epsilon_r}\cdot\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{R_2}\right)$$ | ||
| − | A | + | A fémgömb belsejében a potenciál konstans, hiszen ott nincs elektromos tér. A potenciál értéke: |
$$U = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot R_2\cdot\epsilon_0\cdot}+\frac{Q}{4\cdot\pi\cdot\epsilon_0\cdot\epsilon_r}\cdot\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right) $$ | $$U = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot R_2\cdot\epsilon_0\cdot}+\frac{Q}{4\cdot\pi\cdot\epsilon_0\cdot\epsilon_r}\cdot\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right) $$ | ||
| − | |||
| − | |||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap jelenlegi, 2018. február 23., 14:39-kori változata
Feladat
- Egy
sugarú, 
felületi töltéssűrűséggel egyenletesen töltött fémgömböt egy 
vastagságú, 
permittivitásű szigetelővel veszünk körbe. Hogyan függ a potenciál a centrumtól mért távolságtól?
Megoldás
Legyen a külső gömb sugara 
, töltése pedig 
. Írjuk fel a Gauss-tételt egy 
sugarú gömbre, amely koncentrikus -el és 
-vel.
![\[\int \int\vec{D}\cdot{\vec{dA}} = Q\]](/images/math/5/4/5/5454396302db853cf92b15f4e64c2208.png)
Ha 
, akkor 
és 
, hiszen az integrálási tartományon belül nem található töltés.
Ha 
, akkor az elektromos eltolás nagysága a következő:
![\[D\cdot 4\cdot\pi\cdot r^2 = Q \Rightarrow D = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot r^2}\]](/images/math/6/6/6/6660301c53247ded06e57d9bc441d25e.png)
![\[E = \frac{D}{\epsilon_0\cdot\epsilon_r}\]](/images/math/9/0/9/909d6397f061cbf47fcc772943c0c37e.png)
Így az elektromos tér a dielektrikum rétegben (
):
![\[E = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot r^2\cdot\epsilon_0\cdot\epsilon_r}\]](/images/math/3/1/9/319b7dca9fe4391208a51aefc800d65a.png)
A dielektrikum rétegen kívül (
) :
![\[E = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot r^2\cdot\epsilon_0}\]](/images/math/c/b/2/cb22650fa44a9c28ccb7f4eddc0e26c0.png)
A potenciált az függvényében a következő integrál adja meg:
![\[U\left(r\right) = -\int_\infty^r E\left(\tilde{r}\right)\cdot d\tilde{r}\]](/images/math/b/6/6/b661043d7f9bef946c0d299f00c3f46e.png)
A dielektrikum rétegen kívül: ()
![\[U = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot r\cdot\epsilon_0\cdot}\]](/images/math/a/f/0/af0807207b916b59efa499876d00de24.png)
A dielektrikumban: ()
![\[U = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot R_2\cdot\epsilon_0\cdot}+\frac{Q}{4\cdot\pi\cdot\epsilon_0\cdot\epsilon_r}\cdot\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{R_2}\right)\]](/images/math/4/2/f/42fea07df3ecaebb14ec25042ea7bf1d.png)
A fémgömb belsejében a potenciál konstans, hiszen ott nincs elektromos tér. A potenciál értéke:
![\[U = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot R_2\cdot\epsilon_0\cdot}+\frac{Q}{4\cdot\pi\cdot\epsilon_0\cdot\epsilon_r}\cdot\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right) \]](/images/math/c/3/a/c3a22f84c1c1c89b99eaa62167b22f14.png)
