„Elektrosztatika példák - Hengerfelületre feltekert síkkondenzátor” változatai közötti eltérés
| (egy szerkesztő 5 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
| 8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
| − | </noinclude><wlatex>#Adott egy síkkondenzátor, melynek fegyverzetei egymástól | + | </noinclude><wlatex>#Adott egy síkkondenzátor, melynek fegyverzetei egymástól $d$ távolságra helyezkednek el. A kondenzátort feltekerjük egy vastag, $r$ sugarú hengerre úgy, hogy annak palástján a fegyverzetek $N$ réteget alkotnak az 1. ábra szerint. Mennyivel változik az így kapott kondenzátor kapacitása az eredeti állapotához képest? Tételezzük fel, hogy a feltekert fegyverzetek sok réteget alkotnak ($N\gg 1$), és a rétegrendszer teljes vastagsága lényegesen kisebb, mint a henger sugara ($r\gg 2Nd$). [[Kép:KFGY2-3-9_1.png|none|350px]] <br> 1. ábra</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=A Gauss tétel segítségével állapítsuk meg az egyes fóliarétegeken lévő töltésmennyiséget és adjuk össze!}}{{Végeredmény|content=$$C=\dfrac{Q}{U}=\dfrac{\dfrac{2N-1}{N}A\varepsilon_{0}E}{Ed}=\dfrac{2N-1}{N}\varepsilon_{0}\dfrac{A}{d} $$}} |
</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
| + | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
Ha $r\gg d$, akkor a fóliák közti térerősség rendre {$+E$, $-E$, $+E$, $-E$...} (2. ábra) ahol $U=Ed$ a fóliák között mérhető potenciálkülönbség. | Ha $r\gg d$, akkor a fóliák közti térerősség rendre {$+E$, $-E$, $+E$, $-E$...} (2. ábra) ahol $U=Ed$ a fóliák között mérhető potenciálkülönbség. | ||
| − | 2. ábra | + | [[Kép:KFGY2-3-9_2.png|none|350px]] |
| + | <br> 2. ábra | ||
Hogy megállapítsuk a legbelső, pozitív töltésű fóliarétegen található $Q_{1}$ töltés mennyiségét, felvesszük a 3. ábra szerinti felületet, és alkalmazzuk rá a Gauss törvényt. | Hogy megállapítsuk a legbelső, pozitív töltésű fóliarétegen található $Q_{1}$ töltés mennyiségét, felvesszük a 3. ábra szerinti felületet, és alkalmazzuk rá a Gauss törvényt. | ||
| − | 3. ábra | + | [[Kép:KFGY2-3-9_3.png|none|350px]] |
| + | <br> 3. ábra | ||
Belátható, hogy: | Belátható, hogy: | ||
| − | -A felvett felület csak a belső, $Q_{1}$ töltésű fóliaréteget zárja magába. | + | <br> |
| − | -A felvett felület | + | -A felvett felület csak a belső, $Q_{1}$ töltésű fóliaréteget zárja magába. |
| + | <br> | ||
| + | -A felvett felület $2\pi r l$ területű palástján mindenütt normális irányú, kifelé mutató $E$ térerősség mérhető. | ||
| + | <br> | ||
-A többi záró felületen a térerősségnek nincs felületre merőleges komponense. | -A többi záró felületen a térerősségnek nincs felületre merőleges komponense. | ||
| + | <br> | ||
| + | <br> | ||
Ezek alapján a Gauss törvény: | Ezek alapján a Gauss törvény: | ||
| 34. sor: | 42. sor: | ||
A második, negatív töltésű fóliarétegen található {$Q_{2}$} töltést az 4. ábra szerinti Gauss-felület felvételével határozzuk meg. | A második, negatív töltésű fóliarétegen található {$Q_{2}$} töltést az 4. ábra szerinti Gauss-felület felvételével határozzuk meg. | ||
| − | 4. ábra | + | [[Kép:KFGY2-3-9_4.png|none|350px]] |
| + | <br> 4. ábra | ||
Megállapítható, hogy: | Megállapítható, hogy: | ||
| + | <br> | ||
-Az új felület a már ismert $Q_{1}$ és a még ismeretlen $Q_{2}$ töltést zárja magába. | -Az új felület a már ismert $Q_{1}$ és a még ismeretlen $Q_{2}$ töltést zárja magába. | ||
| + | <br> | ||
-A paláston mindenütt normális irányú, befelé mutató $E$ térerősség mérhető. | -A paláston mindenütt normális irányú, befelé mutató $E$ térerősség mérhető. | ||
| + | <br> | ||
-A többi záró felületen a térerősségnek nincs felületre merőleges komponense. | -A többi záró felületen a térerősségnek nincs felületre merőleges komponense. | ||
| + | <br> | ||
| + | <br> | ||
Ezek alapján a Gauss törvény: | Ezek alapján a Gauss törvény: | ||
| 48. sor: | 62. sor: | ||
$$ Q_{2}=-2Q_{1} $$ | $$ Q_{2}=-2Q_{1} $$ | ||
| − | A harmadik | + | A harmadik fóliaréteget is magába záró felületre felírt Gauss törvény a fentiek alapján: |
$$ 2\pi rlE=\dfrac{Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}}{\varepsilon_{0}} $$ | $$ 2\pi rlE=\dfrac{Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}}{\varepsilon_{0}} $$ | ||
| 56. sor: | 70. sor: | ||
$$ Q_{3}=2Q_{1} $$ | $$ Q_{3}=2Q_{1} $$ | ||
| − | Ha a Gauss tételt sorban alkalmazzuk olyan zárt felületekre, amelyek rendre | + | Ha a Gauss tételt sorban alkalmazzuk olyan zárt felületekre, amelyek rendre eggyel több fóliaréteget zárnak magukba az előzőleg felvett felülethez képest, beláthatjuk, hogy a töltés az egyes fóliarétegeken az 5. ábra szerint alakul. |
| − | 5. ábra | + | [[Kép:KFGY2-3-9_5.png|none|350px]] |
| + | <br> 5. ábra | ||
A legkülső felületen szükségszerűen $-Q_{1}$ töltésnek kell lenni, hogy a rendszer kifelé semlegesnek mutatkozzék. | A legkülső felületen szükségszerűen $-Q_{1}$ töltésnek kell lenni, hogy a rendszer kifelé semlegesnek mutatkozzék. | ||
A lap jelenlegi, 2013. szeptember 30., 16:01-kori változata
Feladat
- Adott egy síkkondenzátor, melynek fegyverzetei egymástól
távolságra helyezkednek el. A kondenzátort feltekerjük egy vastag, 
sugarú hengerre úgy, hogy annak palástján a fegyverzetek 
réteget alkotnak az 1. ábra szerint. Mennyivel változik az így kapott kondenzátor kapacitása az eredeti állapotához képest? Tételezzük fel, hogy a feltekert fegyverzetek sok réteget alkotnak (
), és a rétegrendszer teljes vastagsága lényegesen kisebb, mint a henger sugara (
). 
1. ábra
Megoldás
Ha 
, akkor a fóliák közti térerősség rendre {
, 
, , ...} (2. ábra) ahol 
a fóliák között mérhető potenciálkülönbség.
2. ábra
Hogy megállapítsuk a legbelső, pozitív töltésű fóliarétegen található 
töltés mennyiségét, felvesszük a 3. ábra szerinti felületet, és alkalmazzuk rá a Gauss törvényt.
3. ábra
Belátható, hogy:
-A felvett felület csak a belső, töltésű fóliaréteget zárja magába.
-A felvett felület 
területű palástján mindenütt normális irányú, kifelé mutató 
térerősség mérhető.
-A többi záró felületen a térerősségnek nincs felületre merőleges komponense.
Ezek alapján a Gauss törvény:
![\[ 2\pi rlE=\dfrac{Q_{1}}{\varepsilon_{0}} \]](/images/math/5/2/5/525f05289a6c2d6d92b047175c0f1fb8.png)
Az első fóliaréteg töltése tehát:
![\[ Q_{1}=2\pi rl\varepsilon_{0}E \]](/images/math/6/c/d/6cd839b46da5522d2ec8c3a23445d693.png)
A második, negatív töltésű fóliarétegen található {
} töltést az 4. ábra szerinti Gauss-felület felvételével határozzuk meg.
4. ábra
Megállapítható, hogy:
-Az új felület a már ismert és a még ismeretlen töltést zárja magába.
-A paláston mindenütt normális irányú, befelé mutató térerősség mérhető.
-A többi záró felületen a térerősségnek nincs felületre merőleges komponense.
Ezek alapján a Gauss törvény:
![\[ 2\pi rl(-E)=\dfrac{Q_{1}+Q_{2}}{\varepsilon_{0}} \]](/images/math/0/5/6/056a9e1d438e2503a684a7e5e472f6d2.png)
A második fóliaréteg töltése tehát:
![\[ Q_{2}=-2Q_{1} \]](/images/math/4/e/9/4e95be60bfe7a7b8797e8a6cb2607050.png)
A harmadik fóliaréteget is magába záró felületre felírt Gauss törvény a fentiek alapján:
![\[ 2\pi rlE=\dfrac{Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}}{\varepsilon_{0}} \]](/images/math/5/b/8/5b8d809aab98be6241ad82dc931ed3d7.png)
A harmadik fóliaréteg töltése:
![\[ Q_{3}=2Q_{1} \]](/images/math/6/8/4/684ad69fa0e18aa17032b753c65a27a7.png)
Ha a Gauss tételt sorban alkalmazzuk olyan zárt felületekre, amelyek rendre eggyel több fóliaréteget zárnak magukba az előzőleg felvett felülethez képest, beláthatjuk, hogy a töltés az egyes fóliarétegeken az 5. ábra szerint alakul.
5. ábra
A legkülső felületen szükségszerűen 
töltésnek kell lenni, hogy a rendszer kifelé semlegesnek mutatkozzék.
Egy fegyverzeten található össztöltés db tekeredés esetén:
![\[ Q=Q_{1}+2Q_{1}+2Q_{1}+...+2Q_{1}=(2N-1)\dfrac{A}{N}\varepsilon_{0}E \]](/images/math/7/8/0/78096c3eca945ac65913a70f0884bfe0.png)
Ahol 
a fólia területe.
A lemezek közti feszültség , tehát a kapacitás:
![\[C=\dfrac{Q}{U}=\dfrac{\dfrac{2N-1}{N}A\varepsilon_{0}E}{Ed}=\dfrac{2N-1}{N}\varepsilon_{0}\dfrac{A}{d} \]](/images/math/b/4/0/b407bccfa069329440f1af6e284f3724.png)
A síkkondenzátor 
kapacitása 
-szeresére nőtt a feltekerés hatására.
Ha igen nagy, 
, tehát a kapacitás kétszeresére nő.
