„Elektrosztatika példák - Két azonos sugarú fémgömbből álló rendszer kapacitása” változatai közötti eltérés
(→Megoldás) |
|||
(2 szerkesztő 4 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex>#Mekkora két azonos , $a$ sugarú fémgömbből álló rendszer kapacitása, ha gömbök | + | </noinclude><wlatex>#Mekkora két azonos , $a$ sugarú fémgömbből álló rendszer kapacitása, ha gömbök felületének egymáshoz legközelebbi pontjai $b$ távolságra helyezkednek el? ($b>>a$)</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$C=\dfrac{Q}{U_{AB}}=\dfrac{2\pi \varepsilon_0}{\left( \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b-a} \right)}$$}} |
</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
+ | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
Legyen $Q$ töltése az egyik, $-Q$ töltése a másik fémgömbnek. | Legyen $Q$ töltése az egyik, $-Q$ töltése a másik fémgömbnek. | ||
− | Gauss tétel segítségével könnyen meghatározhatjuk a $Q$ töltésű gömb által keltett teret | + | Gauss tétel segítségével könnyen meghatározhatjuk a $Q$ töltésű gömb által keltett teret az $r$ távolság függvényében: |
$$E_{(r)}=\dfrac{Q}{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{1}{r^2}$$ | $$E_{(r)}=\dfrac{Q}{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{1}{r^2}$$ | ||
− | A $Q$ töltéssel bíró gömb által keltett tér hatására $U_{AB1}$ potenciálkülönbség jön létre az | + | A $Q$ töltéssel bíró gömb által keltett tér hatására $U_{AB1}$ potenciálkülönbség jön létre az ábrán látható A és B pontok között. Mivel a gömbfelületek külön-külön ekvipotenciális felületek, emiatt a két gömbfelületnek bármely két pontja között azonos a feszültség. Az $U_{AB1}$ meghatározható, ha a gömb elektromos terét integráljuk $A$ és $B$ pontok között: |
+ | |||
+ | [[Kép:KFGY2-4-4.png|none|400px]] | ||
− | $$U_{AB1}=-\int_{A}^{B}E_{(r)}dr-\int_{a}^{b | + | $$U_{AB1}=-\int_{A}^{B}E_{(r)}dr=-\int_{a}^{b+a}E_{(r)}dr=-\dfrac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \int_{a}^{b+a} \dfrac{1}{r^2} dr=\dfrac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left( \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b+a} \right)$$ |
A két gömbből álló rendszer tükörszimmetriájából következik, hogy a másik, $-Q$ töltésű gömb által az $A$ és $B$ pontok között létrehozott $U_{AB2}$ potenciálkülönbség megegyezik az első gömb által keltett $U_{AB1}$ potenciálkülönbséggel. ($U_{AB1}=U_{AB2}$) Tekintve, hogy a potenciáltér lineáris, a két gömbfelület között mért potenciálkülönbség az egyes gömbök által keltett potenciálkülönbségek összege: | A két gömbből álló rendszer tükörszimmetriájából következik, hogy a másik, $-Q$ töltésű gömb által az $A$ és $B$ pontok között létrehozott $U_{AB2}$ potenciálkülönbség megegyezik az első gömb által keltett $U_{AB1}$ potenciálkülönbséggel. ($U_{AB1}=U_{AB2}$) Tekintve, hogy a potenciáltér lineáris, a két gömbfelület között mért potenciálkülönbség az egyes gömbök által keltett potenciálkülönbségek összege: | ||
− | $$U_{AB}=U_{AB1}+U_{AB2}=2U_{AB1}=\dfrac{Q}{2\pi \varepsilon_0} \left( \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b | + | $$U_{AB}=U_{AB1}+U_{AB2}=2U_{AB1}=\dfrac{Q}{2\pi \varepsilon_0} \left( \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b+a} \right)$$ |
A rendszer kapacitása: | A rendszer kapacitása: | ||
− | $$C=\dfrac{Q}{U_{AB}}=\dfrac{2\pi \varepsilon_0}{\left( \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b | + | $$C=\dfrac{Q}{U_{AB}}=\dfrac{2\pi \varepsilon_0}{\left( \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b+a} \right)}$$ |
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap jelenlegi, 2021. március 8., 14:53-kori változata
Feladat
- Mekkora két azonos ,
sugarú fémgömbből álló rendszer kapacitása, ha gömbök felületének egymáshoz legközelebbi pontjai
távolságra helyezkednek el? (
)
Megoldás
Legyen töltése az egyik,
töltése a másik fémgömbnek.
Gauss tétel segítségével könnyen meghatározhatjuk a
töltésű gömb által keltett teret az
távolság függvényében:
![\[E_{(r)}=\dfrac{Q}{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{1}{r^2}\]](/images/math/c/4/2/c425a5ac87e20defd544eff4d5293063.png)
A töltéssel bíró gömb által keltett tér hatására
potenciálkülönbség jön létre az ábrán látható A és B pontok között. Mivel a gömbfelületek külön-külön ekvipotenciális felületek, emiatt a két gömbfelületnek bármely két pontja között azonos a feszültség. Az
meghatározható, ha a gömb elektromos terét integráljuk
és
pontok között:
![\[U_{AB1}=-\int_{A}^{B}E_{(r)}dr=-\int_{a}^{b+a}E_{(r)}dr=-\dfrac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \int_{a}^{b+a} \dfrac{1}{r^2} dr=\dfrac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left( \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b+a} \right)\]](/images/math/4/b/d/4bd882d1a173cf2ab7be348a79768901.png)
A két gömbből álló rendszer tükörszimmetriájából következik, hogy a másik, töltésű gömb által az
és
pontok között létrehozott
potenciálkülönbség megegyezik az első gömb által keltett
potenciálkülönbséggel. (
) Tekintve, hogy a potenciáltér lineáris, a két gömbfelület között mért potenciálkülönbség az egyes gömbök által keltett potenciálkülönbségek összege:
![\[U_{AB}=U_{AB1}+U_{AB2}=2U_{AB1}=\dfrac{Q}{2\pi \varepsilon_0} \left( \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b+a} \right)\]](/images/math/b/4/b/b4b2e311fc778044a032931d40f9b75f.png)
A rendszer kapacitása:
![\[C=\dfrac{Q}{U_{AB}}=\dfrac{2\pi \varepsilon_0}{\left( \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b+a} \right)}\]](/images/math/b/c/1/bc1bcd75daaed0ced276f18a67cae66c.png)