„Elektrosztatika példák - Dielektrikummal határolt végtelen töltött henger” változatai közötti eltérés
(egy szerkesztő 8 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex># Egy $R_1$ sugarú, végtelen hosszú fémhenger felületi töltéssűrűségre $\omega$. A felületet egyenletes $d$ vastagságú, $\epsilon_r$ permittivitású réteggel vesszük körül. <br> '''a)''' Mekkora a henger felületi töltéssűrűsége, ha egy $q$ töltést $W$ munka árán tudunk a henger tengelyétől $r_2$ távolságból $r_1$ távolságba hozni. $$r_2 > | + | </noinclude><wlatex># Egy $R_1$ sugarú, végtelen hosszú fémhenger felületi töltéssűrűségre $\omega$. A felületet egyenletes $d$ vastagságú, $\epsilon_r$ permittivitású réteggel vesszük körül. <br> '''a)''' Mekkora a henger felületi töltéssűrűsége, ha egy $q$ töltést $W$ munka árán tudunk a henger tengelyétől $r_2$ távolságból $r_1$ távolságba hozni. $$r_2 > R_1+d > r_1 $$ <br> '''b)''' Ábrázoljuk, hogyan változik a térerősség a tengelytől mért távolság függvényében! <br> '''c)''' Mekkora maximális töltéssűrűség vihető a henger felületére, ha a dielektrikum átütési szilárdsága $E_{kr1}$, a levegőé pedig $E_{kr2}$? |
− | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content='''a)''' $$\omega = \frac{W\cdot \epsilon_0}{R_1\cdot q \cdot \ln\left(\left(\frac{ | + | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content='''a)''' $$\omega = \frac{W\cdot \epsilon_0}{R_1\cdot q \cdot \ln\left(\left(\frac{r_1}{R_2}\right)^{\frac{1}{\epsilon_r}}\cdot\frac{R_2}{r_2}\right)}$$ <br> '''c)''' A legkisebb töltéssűrűség ami ahhoz kell, hogy a dielektrikum átüssön: $$\omega_1 = \epsilon_0\cdot\epsilon_r\cdot E_{kr1}$$ <br> Teljesen hasonlóan a legkisebb töltéssűrűség ami ahhoz kell, hogy a levegő átüssön: $$\omega_2 = \epsilon_0\cdot \frac{R_2}{R_1}\cdot E_{kr2}$$ <br> Ezért a henger felületére vihető legnagyobb töltéssűrűség: $$\omega = \min\left\lbrace \omega_1,\omega_2\right\rbrace$$}} |
</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
16. sor: | 16. sor: | ||
a, Legyen a külső henger sugara $R_2 = R_1+d$. | a, Legyen a külső henger sugara $R_2 = R_1+d$. | ||
Írjuk fel a Gauss-tételt egy $r$ sugarú hengerfelületre, mely a töltött hengerrel koncentrikusan helyezkedik el. Így meghatározhatjuk az elektromos eltolás nagyságát: | Írjuk fel a Gauss-tételt egy $r$ sugarú hengerfelületre, mely a töltött hengerrel koncentrikusan helyezkedik el. Így meghatározhatjuk az elektromos eltolás nagyságát: | ||
− | $$D\cdot 2\cdot \pi\cdot L = \omega\cdot 2\cdot\pi\cdot R_1\cdot L\Rightarrow D = \frac{\omega\cdot R_1}{r}$$ | + | $$D\cdot 2\cdot \pi\cdot r\cdot L = \omega\cdot 2\cdot\pi\cdot R_1\cdot L\Rightarrow D = \frac{\omega\cdot R_1}{r}$$ |
Az elektromos térerősség a dielektrikumban: | Az elektromos térerősség a dielektrikumban: | ||
25. sor: | 25. sor: | ||
$$W = q\cdot U_2-q\cdot U_1$$ | $$W = q\cdot U_2-q\cdot U_1$$ | ||
Ha potenciál referencia pontját a hengertől egységnyi távolságra vesszük fel, akkor: | Ha potenciál referencia pontját a hengertől egységnyi távolságra vesszük fel, akkor: | ||
− | $$ | + | $$W = \int_1^{R_2} \frac{\omega\cdot R_1}{r\cdot\epsilon_0}\cdot q dr+\int_{R_2}^{r_1} \frac{\omega\cdot R_1}{r\cdot\epsilon_0\cdot\epsilon_r}\cdot q dr-\int_1^{r_2} \frac{\omega\cdot R_1}{r\cdot\epsilon_0}\cdot q dr$$ $$W = \frac{\omega\cdot R_1\cdot q}{\epsilon_0}\ln\left(\left(\frac{r_1}{R_2}\right)^{\frac{1}{\epsilon_r}}\cdot\frac{R_2}{r_2}\right)$$ |
Ebből kifejezhető a felületi töltéssűrűség: | Ebből kifejezhető a felületi töltéssűrűség: | ||
− | $$\omega = \frac{W\cdot \epsilon_0}{R_1\cdot q \cdot \ln\left(\left(\frac{ | + | $$\omega = \frac{W\cdot \epsilon_0}{R_1\cdot q \cdot \ln\left(\left(\frac{r_1}{R_2}\right)^{\frac{1}{\epsilon_r}}\cdot\frac{R_2}{r_2}\right)}$$ |
b, A térerősséget ábrázolva | b, A térerősséget ábrázolva | ||
− | + | [[Kép:KFGY2-3-5uj.png|none|500px]] | |
c, A dielektrikum akkor üt át, ha a benne lévő legnagyobb elektromos tér nagyobb, mint a dielektrikum átütési szilárdsága. A legnagyobb tér a dielektrikumban a henger felületén van. Ezért a legkisebb töltéssűrűség, ami ahhoz kell, hogy a dielektrikum átüssön: | c, A dielektrikum akkor üt át, ha a benne lévő legnagyobb elektromos tér nagyobb, mint a dielektrikum átütési szilárdsága. A legnagyobb tér a dielektrikumban a henger felületén van. Ezért a legkisebb töltéssűrűség, ami ahhoz kell, hogy a dielektrikum átüssön: |
A lap jelenlegi, 2013. szeptember 27., 15:06-kori változata
Feladat
- Egy sugarú, végtelen hosszú fémhenger felületi töltéssűrűségre . A felületet egyenletes vastagságú, permittivitású réteggel vesszük körül.
a) Mekkora a henger felületi töltéssűrűsége, ha egy töltést munka árán tudunk a henger tengelyétől távolságból távolságba hozni.
b) Ábrázoljuk, hogyan változik a térerősség a tengelytől mért távolság függvényében!
c) Mekkora maximális töltéssűrűség vihető a henger felületére, ha a dielektrikum átütési szilárdsága , a levegőé pedig ?
Megoldás
a, Legyen a külső henger sugara .
Írjuk fel a Gauss-tételt egy sugarú hengerfelületre, mely a töltött hengerrel koncentrikusan helyezkedik el. Így meghatározhatjuk az elektromos eltolás nagyságát:
Az elektromos térerősség a dielektrikumban:
A dielektrikumon kívül pedig:
A töltésen végzett munka, miközben -ből -be visszük:
Ha potenciál referencia pontját a hengertől egységnyi távolságra vesszük fel, akkor:
Ebből kifejezhető a felületi töltéssűrűség:
b, A térerősséget ábrázolva
c, A dielektrikum akkor üt át, ha a benne lévő legnagyobb elektromos tér nagyobb, mint a dielektrikum átütési szilárdsága. A legnagyobb tér a dielektrikumban a henger felületén van. Ezért a legkisebb töltéssűrűség, ami ahhoz kell, hogy a dielektrikum átüssön:
Teljesen hasonlóan a legkisebb töltéssűrűség, ami ahhoz kell, hogy a levegő átüssön:
Ezért a henger felületére vihető legnagyobb töltéssűrűség: