„Elektrosztatika példák - Dielektrikummal határolt végtelen töltött henger” változatai közötti eltérés
(→Megoldás) |
|||
(egy szerkesztő 2 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
9. sor: | 9. sor: | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
</noinclude><wlatex># Egy $R_1$ sugarú, végtelen hosszú fémhenger felületi töltéssűrűségre $\omega$. A felületet egyenletes $d$ vastagságú, $\epsilon_r$ permittivitású réteggel vesszük körül. <br> '''a)''' Mekkora a henger felületi töltéssűrűsége, ha egy $q$ töltést $W$ munka árán tudunk a henger tengelyétől $r_2$ távolságból $r_1$ távolságba hozni. $$r_2 > R_1+d > r_1 $$ <br> '''b)''' Ábrázoljuk, hogyan változik a térerősség a tengelytől mért távolság függvényében! <br> '''c)''' Mekkora maximális töltéssűrűség vihető a henger felületére, ha a dielektrikum átütési szilárdsága $E_{kr1}$, a levegőé pedig $E_{kr2}$? | </noinclude><wlatex># Egy $R_1$ sugarú, végtelen hosszú fémhenger felületi töltéssűrűségre $\omega$. A felületet egyenletes $d$ vastagságú, $\epsilon_r$ permittivitású réteggel vesszük körül. <br> '''a)''' Mekkora a henger felületi töltéssűrűsége, ha egy $q$ töltést $W$ munka árán tudunk a henger tengelyétől $r_2$ távolságból $r_1$ távolságba hozni. $$r_2 > R_1+d > r_1 $$ <br> '''b)''' Ábrázoljuk, hogyan változik a térerősség a tengelytől mért távolság függvényében! <br> '''c)''' Mekkora maximális töltéssűrűség vihető a henger felületére, ha a dielektrikum átütési szilárdsága $E_{kr1}$, a levegőé pedig $E_{kr2}$? | ||
− | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content='''a)''' $$\omega = \frac{W\cdot \epsilon_0}{R_1\cdot q \cdot \ln\left(\left(\frac{ | + | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content='''a)''' $$\omega = \frac{W\cdot \epsilon_0}{R_1\cdot q \cdot \ln\left(\left(\frac{r_1}{R_2}\right)^{\frac{1}{\epsilon_r}}\cdot\frac{R_2}{r_2}\right)}$$ <br> '''c)''' A legkisebb töltéssűrűség ami ahhoz kell, hogy a dielektrikum átüssön: $$\omega_1 = \epsilon_0\cdot\epsilon_r\cdot E_{kr1}$$ <br> Teljesen hasonlóan a legkisebb töltéssűrűség ami ahhoz kell, hogy a levegő átüssön: $$\omega_2 = \epsilon_0\cdot \frac{R_2}{R_1}\cdot E_{kr2}$$ <br> Ezért a henger felületére vihető legnagyobb töltéssűrűség: $$\omega = \min\left\lbrace \omega_1,\omega_2\right\rbrace$$}} |
</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
25. sor: | 25. sor: | ||
$$W = q\cdot U_2-q\cdot U_1$$ | $$W = q\cdot U_2-q\cdot U_1$$ | ||
Ha potenciál referencia pontját a hengertől egységnyi távolságra vesszük fel, akkor: | Ha potenciál referencia pontját a hengertől egységnyi távolságra vesszük fel, akkor: | ||
− | $$ | + | $$W = \int_1^{R_2} \frac{\omega\cdot R_1}{r\cdot\epsilon_0}\cdot q dr+\int_{R_2}^{r_1} \frac{\omega\cdot R_1}{r\cdot\epsilon_0\cdot\epsilon_r}\cdot q dr-\int_1^{r_2} \frac{\omega\cdot R_1}{r\cdot\epsilon_0}\cdot q dr$$ $$W = \frac{\omega\cdot R_1\cdot q}{\epsilon_0}\ln\left(\left(\frac{r_1}{R_2}\right)^{\frac{1}{\epsilon_r}}\cdot\frac{R_2}{r_2}\right)$$ |
Ebből kifejezhető a felületi töltéssűrűség: | Ebből kifejezhető a felületi töltéssűrűség: | ||
− | $$\omega = \frac{W\cdot \epsilon_0}{R_1\cdot q \cdot \ln\left(\left(\frac{ | + | $$\omega = \frac{W\cdot \epsilon_0}{R_1\cdot q \cdot \ln\left(\left(\frac{r_1}{R_2}\right)^{\frac{1}{\epsilon_r}}\cdot\frac{R_2}{r_2}\right)}$$ |
b, A térerősséget ábrázolva | b, A térerősséget ábrázolva |
A lap jelenlegi, 2013. szeptember 27., 15:06-kori változata
Feladat
- Egy
sugarú, végtelen hosszú fémhenger felületi töltéssűrűségre
. A felületet egyenletes
vastagságú,
permittivitású réteggel vesszük körül.
a) Mekkora a henger felületi töltéssűrűsége, ha egytöltést
munka árán tudunk a henger tengelyétől
távolságból
távolságba hozni.
b) Ábrázoljuk, hogyan változik a térerősség a tengelytől mért távolság függvényében!
c) Mekkora maximális töltéssűrűség vihető a henger felületére, ha a dielektrikum átütési szilárdsága, a levegőé pedig
?
Megoldás
a, Legyen a külső henger sugara .
Írjuk fel a Gauss-tételt egy
sugarú hengerfelületre, mely a töltött hengerrel koncentrikusan helyezkedik el. Így meghatározhatjuk az elektromos eltolás nagyságát:
![\[D\cdot 2\cdot \pi\cdot r\cdot L = \omega\cdot 2\cdot\pi\cdot R_1\cdot L\Rightarrow D = \frac{\omega\cdot R_1}{r}\]](/images/math/5/5/6/556ebe6a36245a4d2a86f5a76ca2f751.png)
Az elektromos térerősség a dielektrikumban:
![\[E = \frac{\omega\cdot R_1}{r\cdot\epsilon_0\cdot\epsilon_r}\]](/images/math/b/d/5/bd56ec4cf9c40499621e07ee9c2a6c9c.png)
A dielektrikumon kívül pedig:
![\[E = \frac{\omega\cdot R_1}{r\cdot\epsilon_0}\]](/images/math/4/2/9/429aa4ccccf5726ef718b2246b0e7d53.png)
A töltésen végzett munka, miközben
-ből
-be visszük:
![\[W = q\cdot U_2-q\cdot U_1\]](/images/math/5/2/3/523a0172fabc2e3638fb7802f0410405.png)
Ha potenciál referencia pontját a hengertől egységnyi távolságra vesszük fel, akkor:
![\[W = \int_1^{R_2} \frac{\omega\cdot R_1}{r\cdot\epsilon_0}\cdot q dr+\int_{R_2}^{r_1} \frac{\omega\cdot R_1}{r\cdot\epsilon_0\cdot\epsilon_r}\cdot q dr-\int_1^{r_2} \frac{\omega\cdot R_1}{r\cdot\epsilon_0}\cdot q dr\]](/images/math/2/1/7/217d35ee96f4c85a0ec72c25d1bb1215.png)
![\[W = \frac{\omega\cdot R_1\cdot q}{\epsilon_0}\ln\left(\left(\frac{r_1}{R_2}\right)^{\frac{1}{\epsilon_r}}\cdot\frac{R_2}{r_2}\right)\]](/images/math/1/3/a/13acbcbfb79eb2f6c945e78a476b3acd.png)
Ebből kifejezhető a felületi töltéssűrűség:
![\[\omega = \frac{W\cdot \epsilon_0}{R_1\cdot q \cdot \ln\left(\left(\frac{r_1}{R_2}\right)^{\frac{1}{\epsilon_r}}\cdot\frac{R_2}{r_2}\right)}\]](/images/math/a/0/1/a017c9bac5ffea60759e3f2318896539.png)
b, A térerősséget ábrázolva
c, A dielektrikum akkor üt át, ha a benne lévő legnagyobb elektromos tér nagyobb, mint a dielektrikum átütési szilárdsága. A legnagyobb tér a dielektrikumban a henger felületén van. Ezért a legkisebb töltéssűrűség, ami ahhoz kell, hogy a dielektrikum átüssön:
![\[\omega_1 = \epsilon_0\cdot\epsilon_r\cdot E_{kr1}\]](/images/math/f/3/d/f3d8634a77d527fb585b1dc12dc74221.png)
Teljesen hasonlóan a legkisebb töltéssűrűség, ami ahhoz kell, hogy a levegő átüssön:
![\[\omega_2 = \epsilon_0\cdot \frac{R_2}{R_1}\cdot E_{kr2}\]](/images/math/2/0/7/2074dfcaa31794abbedd5106bfd5022d.png)
Ezért a henger felületére vihető legnagyobb töltéssűrűség:
![\[\omega = \min\left\lbrace \omega_1,\omega_2\right\rbrace\]](/images/math/5/e/3/5e3c2ed53173f9f5692b66eaf3795f14.png)