„Elektrosztatika példák - Különböző vezetőképességű anyagok határfelületén az átfolyó áram hatására kialakuló felületi töltéssűrűség.” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(→Megoldás) |
(→Megoldás) |
||
22. sor: | 22. sor: | ||
$$\Delta U = E_1 h_1 +E_2 h_2 = j \Big( \frac{h_1}{\sigma_1} + \frac{h_2}{\sigma_2} \Big)$$ | $$\Delta U = E_1 h_1 +E_2 h_2 = j \Big( \frac{h_1}{\sigma_1} + \frac{h_2}{\sigma_2} \Big)$$ | ||
− | + | Ebből kifejezve az áramsűrűséget kapjuk, hogy | |
$$j = \frac{\Delta U \sigma_1 \sigma_2}{\sigma_2 h_1+\sigma_1 h_2}$$ | $$j = \frac{\Delta U \sigma_1 \sigma_2}{\sigma_2 h_1+\sigma_1 h_2}$$ | ||
Innen a térerősségek: | Innen a térerősségek: |
A lap 2021. március 14., 17:04-kori változata
Feladat
- Egy síkkondenzátor fegyverzetek közötti terét két vezető lemezzel töltjük ki. A lemezek egymással és a kondenzátor lemezeivel teljes felületükön érintkeznek. A lemezek vastagsága
és
, vezetőképességük és dielektromos állandójuk
,
, illetve
. A kondenzátorlemezek (melyek
-nél és
-nél jóval nagyobb vezetőképességű anyagból készültek) között adott a potenciálkülönbség:
. Határozzuk meg az elektromos tér, valamint az elektromos eltolás nagyságát! Határozzuk meg az áramsűrűség nagyságát a közegekben, továbbá a stacionárius áramok hatására kialakuló felületi töltéssűrűséget!
Megoldás
A kontinuitási tétel miatt:
![\[j_1 = j_2 = j\]](/images/math/9/9/b/99bcf214f7711c8a889515db78711714.png)
Mindkét közegben érvényes a differenciális Ohm-törvény:
![\[E_1 = \frac{j}{\sigma_1}\]](/images/math/3/d/2/3d2cd921d089f5fcf3930390011d0b92.png)
![\[E_2 = \frac{j}{\sigma_2}\]](/images/math/7/4/3/7435c382efe8e8a739a0d8a606b7e411.png)
A lemezek közötti potenciálkülönbség pedig:
![\[\Delta U = E_1 h_1 +E_2 h_2 = j \Big( \frac{h_1}{\sigma_1} + \frac{h_2}{\sigma_2} \Big)\]](/images/math/6/0/2/6027870d084426f7bd4deed3aa86c0c9.png)
Ebből kifejezve az áramsűrűséget kapjuk, hogy
![\[j = \frac{\Delta U \sigma_1 \sigma_2}{\sigma_2 h_1+\sigma_1 h_2}\]](/images/math/0/8/5/0854b17e037b4861fdb577fc399592cd.png)
Innen a térerősségek:
![\[E_1 = \frac{\Delta U \sigma_2}{\sigma_2 h_1+\sigma_1 h_2}\]](/images/math/7/5/3/7536faeeaba9eb92e1a1006e90b11957.png)
![\[E_2 = \frac{\Delta U \sigma_1}{\sigma_2 h_1+\sigma_1 h_2}\]](/images/math/7/b/3/7b3b95f8efeb9be3685088919847a819.png)
Az elektromos eltolások pedig a két közegben:
![\[D_1 = \epsilon_0 \epsilon_1 E_1 = \frac{\Delta U \sigma_2 \epsilon_0\epsilon_1}{\sigma_2 h_1+\sigma_1 h_2}\]](/images/math/4/f/1/4f1e5a6b72067faeaa5c3ee218ae4c15.png)
![\[D_2 = \epsilon_0 \epsilon_2 E_2 = \frac{\Delta U \sigma_1 \epsilon_0\epsilon_2}{\sigma_2 h_1+\sigma_1 h_2}\]](/images/math/a/3/b/a3b7207b677c5b33e439cb8413690074.png)
A határfelületen felhalmozódott töltést pedig a Gauss-tételből lehet kiszámolni:
![\[D_2 A-D_1 A =\omega A \rightarrow \omega = D_2-D_1 = \frac{\Delta U \epsilon_0\cdot \left(\epsilon_2\sigma_1-\epsilon_1\sigma_2\right)}{\sigma_2 h_1+\sigma_1 h_2} \]](/images/math/d/9/2/d9243be3972e5031ee5f1932c3081ebe.png)