„Mechanika - Lelógatott korong tárcsával és tömeggel” változatai közötti eltérés

== Feladat ==

== Feladat ==

</noinclude><wlatex># (*3.3.7.) $2R$ sugarú $4m$ tömegű korong kerületére csavart fonál szabad végét felfüggesztjük. A koronghoz erősített elhanyagolható tömegű $R$ sugarú tárcsa kerületére csavart fonál végére $m$ tömegű testet függesztünk (mindkét fonál a korong középpontjának ugyanazon oldalán van). A rendszer függőleges síkban mozoghat. Írjuk le a rendszer mozgását! ÁBRA</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$\beta=\frac{9g}{25R}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>

</noinclude><wlatex># (*3.3.7.) $2R$ sugarú $4m$ tömegű korong kerületére csavart fonál szabad végét felfüggesztjük. A koronghoz erősített elhanyagolható tömegű $R$ sugarú tárcsa kerületére csavart fonál végére $m$ tömegű testet függesztünk (mindkét fonál a korong középpontjának ugyanazon oldalán van). A rendszer függőleges síkban mozoghat. Írjuk le a rendszer mozgását! ÁBRA</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$\beta=\frac{9g}{25R}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>

== Megoldás ==

== Megoldás ==

<wlatex>Legyen a korong az 1-es test, az azt tartó kötélerő $K_1$, a másik test a 2-es, és a kettő közti kötélben ható erő $K_2$. A megadott adatokkal $\theta_{\rm{TKP}}=8mR^2$. A mozgásegyenletek mozgásirányban pozitív koordinátatengelyekkel $$ma_2=mg-K_2$$ $$4ma_1=4mg+K_2-K_1$$ $$\theta_{\rm{TKP}}\beta=8mR^2\cdot\frac{a_1}{2R}=K_1 2R-K_2R$$ Ez három egyenlet négy ismeretlenre (gyorulások és kötélerők), a még hiányzó egyenlet már csak a két test mozgásának viszonyáról szólhat: $$a_2=\frac{a_1}2$$ Ehhez úgy jutunk, ha megnézzük, mennyit változik a 2-es test magassága, ha $l_1$ hosszúságú kötél csavarodik le a korongról. Emiatt a test $l_1$-el lejjebb kerülne, de közben a tárcsán felcsavarodik $\frac{l_1}2$ hosszúságú kötél, emiatt ennyivel feljebb kerülne. Összességében tehát $l_2=l_1-\frac{l_1}2$ a magasságváltozás, ezt kétszer idő szerint deriválva kapjuk a gyorsulások viszonyát. Áttérve a szöggyorsulásra és $K_2$-t behelyettesítve már csak két ismeretlen és két egyenlet van. Célszerű a másik kötélerőtől megszabadulni az egyenletek megfelelő lineáris kombinációjával, így kapható a szöggyorsulásra $$\beta=\frac{9g}{25R}$$.</wlatex>

<wlatex>Legyen a korong az 1-es test, az azt tartó kötélerő $K_1$, a másik test a 2-es, és a kettő közti kötélben ható erő $K_2$. A megadott adatokkal $\theta_{\rm{TKP}}=8mR^2$. A mozgásegyenletek mozgásirányban pozitív koordinátatengelyekkel $$ma_2=mg-K_2$$ $$4ma_1=4mg+K_2-K_1$$ $$\theta_{\rm{TKP}}\beta=8mR^2\cdot\frac{a_1}{2R}=K_1 2R-K_2R$$ Ez három egyenlet négy ismeretlenre (gyorulások és kötélerők), a még hiányzó egyenlet már csak a két test mozgásának viszonyáról szólhat: $$a_2=\frac{a_1}2$$ Ehhez úgy jutunk, ha megnézzük, mennyit változik a 2-es test magassága, ha $l_1$ hosszúságú kötél csavarodik le a korongról. Emiatt a test $l_1$-el lejjebb kerülne, de közben a tárcsán felcsavarodik $\frac{l_1}2$ hosszúságú kötél, emiatt ennyivel feljebb kerülne. Összességében tehát $l_2=l_1-\frac{l_1}2$ a magasságváltozás, ezt kétszer idő szerint deriválva kapjuk a gyorsulások viszonyát. Áttérve a szöggyorsulásra és $K_2$-t behelyettesítve már csak két ismeretlen és két egyenlet van. Célszerű a másik kötélerőtől megszabadulni az egyenletek megfelelő lineáris kombinációjával, így kapható a szöggyorsulásra $$\beta=\frac{9g}{25R}$$.</wlatex>

</noinclude>

</noinclude>