„Mechanika - Tömeg rugón súlyos csigával” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 1. Kategória:Szerkesztő:Gombkötő Kategória:Mechanika {{Kísérleti fizika gyakorlat | tárgynév = …”) |
(→Feladat) |
||
| 8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
| − | </noinclude><wlatex># (*3.3.9.) Vízszintes tengely körül forgó csigán átvetett fonál egyik végén $m$ tömegű teher függ. A fonál másik vége rugóhoz csatlakozik, amelynek rugóállandója $D$. A csiga sugara $R$, tehetetlenségi nyomatéka $\theta$. Mutassuk ki, hogy a teher rezgőmozgást végez! Mekkora a rezgésidő? | + | </noinclude><wlatex># (*3.3.9.) Vízszintes tengely körül forgó csigán átvetett fonál egyik végén $m$ tömegű teher függ. A fonál másik vége rugóhoz csatlakozik, amelynek rugóállandója $D$. A csiga sugara $R$, tehetetlenségi nyomatéka $\theta$. Mutassuk ki, hogy a teher rezgőmozgást végez! Mekkora a rezgésidő?[[Kép:Kfgy1_09_3_3_9.svg|none|250px]] </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Vigyázzunk, hogy a kötél két szakaszának eltérő a feszítettsége!}}{{Végeredmény|content=$$T=2\pi\sqrt{\frac{\frac{\theta}{R^2}+m}{D}}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
| + | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex>Vegyük észre, hogy súlyos csigáról lévén szó a két oldalán a kötélerők nem feltétlenül egyformák, ezért lehet nullától különböző eredő forgatónyomatékuk, ami a csigát gyorsítja! A mozgásegyenletek: $$ma=mg-K_1$$ $$\theta\beta=K_1R-K_2R$$ a további egyenletek $$a=\beta R=\ddot x$$ és $$K_2=Dx$$. A nyomatéki egyenletben látható, hogy nulla tehetetlenségi nyomaték esetén a két kötélerő szükségképpen azonos, máskülönben nem. Ebbe az egyenletbe a többit helyettesítve $$\left(\frac{\theta}R+mR\right)\ddot x=mgR-DxR$$ Ebben a jobb oldal első tagja állandó, és az egyensúlyi helyzet eltolását eredményezi, a második tag pedig lineáris visszatérítő erő, tehát az egyenlet valóban harmonikus rezgőmozgást ír le. A bal oldal zárójeles tényezőjével osztva az egyenlet a gyorsulásra rendezett, így a második tag együtthatójából leolvasható a körfrekvencia: $$\omega=\frac{DR}{\frac{\theta}R+mR}=\frac{D}{\frac{\theta}{R^2}+m},$$ melyből a periódusidő $$T=2\pi\sqrt{\frac{\frac{\theta}{R^2}+m}{D}}$$</wlatex> | <wlatex>Vegyük észre, hogy súlyos csigáról lévén szó a két oldalán a kötélerők nem feltétlenül egyformák, ezért lehet nullától különböző eredő forgatónyomatékuk, ami a csigát gyorsítja! A mozgásegyenletek: $$ma=mg-K_1$$ $$\theta\beta=K_1R-K_2R$$ a további egyenletek $$a=\beta R=\ddot x$$ és $$K_2=Dx$$. A nyomatéki egyenletben látható, hogy nulla tehetetlenségi nyomaték esetén a két kötélerő szükségképpen azonos, máskülönben nem. Ebbe az egyenletbe a többit helyettesítve $$\left(\frac{\theta}R+mR\right)\ddot x=mgR-DxR$$ Ebben a jobb oldal első tagja állandó, és az egyensúlyi helyzet eltolását eredményezi, a második tag pedig lineáris visszatérítő erő, tehát az egyenlet valóban harmonikus rezgőmozgást ír le. A bal oldal zárójeles tényezőjével osztva az egyenlet a gyorsulásra rendezett, így a második tag együtthatójából leolvasható a körfrekvencia: $$\omega=\frac{DR}{\frac{\theta}R+mR}=\frac{D}{\frac{\theta}{R^2}+m},$$ melyből a periódusidő $$T=2\pi\sqrt{\frac{\frac{\theta}{R^2}+m}{D}}$$</wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap jelenlegi, 2013. június 20., 12:21-kori változata
| [rejt] Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika gyakorlat 1. |
| Gyakorlatok listája: |
| Mechanika - Merev testek II. |
| Feladatok listája: |
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- (*3.3.9.) Vízszintes tengely körül forgó csigán átvetett fonál egyik végén
tömegű teher függ. A fonál másik vége rugóhoz csatlakozik, amelynek rugóállandója 
. A csiga sugara 
, tehetetlenségi nyomatéka 
. Mutassuk ki, hogy a teher rezgőmozgást végez! Mekkora a rezgésidő?
Megoldás
Vegyük észre, hogy súlyos csigáról lévén szó a két oldalán a kötélerők nem feltétlenül egyformák, ezért lehet nullától különböző eredő forgatónyomatékuk, ami a csigát gyorsítja! A mozgásegyenletek:![\[ma=mg-K_1\]](/images/math/1/2/d/12dae226e52a4bab8cf151df7c91a7ba.png)
![\[\theta\beta=K_1R-K_2R\]](/images/math/3/e/2/3e2f377e44f2b9d6e24886dd77f4b0a3.png)
![\[a=\beta R=\ddot x\]](/images/math/f/1/0/f10b95ba45c1ca6c50d06176962dd5c1.png)
![\[K_2=Dx\]](/images/math/1/2/7/127b38b19e85a12bcf7e93ab472c847e.png)
![\[\left(\frac{\theta}R+mR\right)\ddot x=mgR-DxR\]](/images/math/2/4/2/242179d94ed45edcab54ea941819f451.png)
![\[\omega=\frac{DR}{\frac{\theta}R+mR}=\frac{D}{\frac{\theta}{R^2}+m},\]](/images/math/7/6/6/766a27a0f235df7109fdf165228ce7b0.png)
![\[T=2\pi\sqrt{\frac{\frac{\theta}{R^2}+m}{D}}\]](/images/math/6/2/9/629305006f9afd82df6c9355df5b3d49.png)
