„Elektrosztatika példák - Dielektriumba helyezett fémgömb potenciáltere” változatai közötti eltérés

A lap 2013. szeptember 13., 18:07-kori változata (lapforrás) Beleznai (vitalap | szerkesztései) (→‎Feladat) ← Régebbi szerkesztés		A lap 2013. szeptember 13., 18:26-kori változata (lapforrás) Beleznai (vitalap | szerkesztései) (→‎Megoldás) Újabb szerkesztés →
14. sor:		14. sor:
	== Megoldás ==		== Megoldás ==
	<wlatex>		<wlatex>
−	Legyen a külső gömb sugara $R_2 = R_1+d$, töltése pedig $Q$. Írjuk fel a Gauss-tételt, egy $r$ sugarú gömbre, amely koncentrikus $R_1$-el és $R_2$-vel.	+	Legyen a külső gömb sugara $R_2 = R_1+d$, töltése pedig $Q$. Írjuk fel a Gauss-tételt egy $r$ sugarú gömbre, amely koncentrikus $R_1$-el és $R_2$-vel.
−	$$\iint\vec{D}\cdot{dA} = Q$$	+	$$\int \int\vec{D}\cdot{\vec{dA}} = Q$$
−	Ha $r<R_1$ akkor $\vec{D} = 0$ és $\vec{E} = 0$ hiszen az integrálási tartományon belül nem található töltés.	+	Ha $r<R_1$, akkor $\vec{D} = 0$ és $\vec{E} = 0$, hiszen az integrálási tartományon belül nem található töltés.
−	Ha  $r>R_1$, akkor	+	Ha  $r>R_1$, akkor az elektromos eltolás nagysága a következő:
	$$D\cdot 4\cdot\pi\cdot r = Q \Rightarrow D = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot r^2}$$		$$D\cdot 4\cdot\pi\cdot r = Q \Rightarrow D = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot r^2}$$
−	Az elektromos tér pedig, mivel $\vec{E} = \frac{\vec{D}}{\epsilon_0\cdot\epsilon_r}$ ezért	+
−	ha	+	Az ebből származtatható elektromos tér nagysága pedig függ a gömböt koncentrikusan körülvevő anyag dielektromos állandójától: $$E = \frac{D}{\epsilon_0\cdot\epsilon_r}$$.
−	$R_1<r<R_2$ akkor	+
		+	Így az elektromos tér a dielektrikum rétegben ($R_1<r<R_2$):
		+
	$$E = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot r^2\cdot\epsilon_0\cdot\epsilon_r}$$		$$E = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot r^2\cdot\epsilon_0\cdot\epsilon_r}$$
−	ha pedig $R_2<r$ akkor	+
		+	A dielektrikum rétegen kívül ($R_2<r$) :
	$$E = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot r^2\cdot\epsilon_0}$$		$$E = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot r^2\cdot\epsilon_0}$$
−	A potenciál az $r$ függvényében pedig:	+
		+
		+	A potenciált az $r$ függvényében a következő integrál adja meg:
	$$U\left(r\right) = -\int_\infty^r E\left(\tilde{r}\right)\cdot d\tilde{r}$$		$$U\left(r\right) = -\int_\infty^r E\left(\tilde{r}\right)\cdot d\tilde{r}$$
−	Vagyis ha $R_2<r$ akkor	+	A dielektrikum rétegen kívül: ($R_2<r$)
	$$U = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot r\cdot\epsilon_0\cdot}$$		$$U = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot r\cdot\epsilon_0\cdot}$$
−	Ha $R_1<r<R_2$ akkor	+	A dielektrikumban: ($R_1<r<R_2$)
	$$U = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot R_2\cdot\epsilon_0\cdot}+\frac{Q}{4\cdot\pi\cdot\epsilon_0\cdot\epsilon_r}\cdot\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{R_2}\right)$$		$$U = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot R_2\cdot\epsilon_0\cdot}+\frac{Q}{4\cdot\pi\cdot\epsilon_0\cdot\epsilon_r}\cdot\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{R_2}\right)$$
−	A gömb belsejében pedig konstans ptenciál van, amelynek értéke:	+	A fémgömb belsejében a potenciál konstans, hiszen ott nincs elektromos tér. A potenciál értéke:
	$$U = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot R_2\cdot\epsilon_0\cdot}+\frac{Q}{4\cdot\pi\cdot\epsilon_0\cdot\epsilon_r}\cdot\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right) $$		$$U = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot R_2\cdot\epsilon_0\cdot}+\frac{Q}{4\cdot\pi\cdot\epsilon_0\cdot\epsilon_r}\cdot\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right) $$
	A potenciált ábrázolva, egy folytonos görbét kapunk:		A potenciált ábrázolva, egy folytonos görbét kapunk:

---

A lap 2013. szeptember 13., 18:26-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 2.
Gyakorlatok listája: Erőhatások elektromos erőtérben, elektromos térerősség Elektromos potenciál Dielektrikumok, Gauss-tétel. Kapacitás, kondenzátorok Kapacitás, kondenzátorok. Elrendezések energiája Vezetőképesség, áramsűrűség Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény Erőhatások mágneses térben Mágneses térerősség. Kölcsönös és öninduktivitás Az indukció törvénye, mozgási indukció Mágneses tér energiája. Váltakozó áram, eltolási áram
Elektrosztatika - Dielektrikumok, Gauss-tétel. Kapacitás, kondenzátorok
Feladatok listája: Kétrétegű dielektrikummal töltött síkkondenzátor Fémlappal töltött síkkondenzátor Változó permittivitású dielektrikummal töltött síkkondenzátor Dielektriumba helyezett fémgömb potenciáltere Dielektrikummal határolt végtelen töltött henger Szigetelővel töltött hengerkondenzátor Változó permittivitású dielektrikummal töltött gömbkondenzátor Síkkondenzátor, munkavégzés Hengerfelületre feltekert síkkondenzátor
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

1. Egy sugarú, térfogati töltéssűrűséggel egyenletesen töltött fémgömböt egy vastagságú, permittivitásű szigetelővel veszünk körbe. Hogyan függ a potenciál a centrumtól mért távolságtól?

Megoldás

Legyen a külső gömb sugara , töltése pedig . Írjuk fel a Gauss-tételt egy sugarú gömbre, amely koncentrikus -el és -vel.

Ha , akkor és , hiszen az integrálási tartományon belül nem található töltés. Ha , akkor az elektromos eltolás nagysága a következő:

Az ebből származtatható elektromos tér nagysága pedig függ a gömböt koncentrikusan körülvevő anyag dielektromos állandójától: .

Így az elektromos tér a dielektrikum rétegben ():

A dielektrikum rétegen kívül () :

A potenciált az függvényében a következő integrál adja meg:

A dielektrikum rétegen kívül: ()

A dielektrikumban: ()

A fémgömb belsejében a potenciál konstans, hiszen ott nincs elektromos tér. A potenciál értéke:

A potenciált ábrázolva, egy folytonos görbét kapunk: 1.ábra