„Elektrosztatika példák - Hengerkondenzátor kapacitása” változatai közötti eltérés
(→Megoldás) |
(→Feladat) |
||
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex>#Számítsuk ki egy $l$ hosszúságú, $R_1<R_2$ sugarakkal rendelkező hengerkondenzátor kapacitását, ha a hengerek között levegő van. </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$C=\dfrac{ | + | </noinclude><wlatex>#Számítsuk ki egy $l$ hosszúságú, $R_1<R_2$ sugarakkal rendelkező hengerkondenzátor kapacitását, ha a hengerek között levegő van. </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$C=\dfrac{2\pi l \varepsilon_0}{ln \left( \dfrac{R_2}{R_1} \right)}$$}} |
</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
+ | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex> | <wlatex> |
A lap 2014. március 6., 13:19-kori változata
Feladat
- Számítsuk ki egy hosszúságú, sugarakkal rendelkező hengerkondenzátor kapacitását, ha a hengerek között levegő van.
Megoldás
Legyen felületi töltéssűrűség a belső, sugarú hengeren. Próbáljuk meghatározni a két hengerfelület közti elektromos teret. Ehhez vegyünk fel egy sugarú, hosszúságú hengerfelületet, melynek tengelye egybe esik a kondenzátor tengelyével. A henger által bezárt töltés mennyisége könnyen kiszámítható, hiszen az a kondenzátor belső, sugarú fegyverzetének hosszúságú darabját zárja be. Tehát a bezárt töltés:
A bezárt töltés ismeretében felírhatjuk az sugarú hengerfelületre a Gauss-törvényt:
A rendszer hengerszimmetriája miatt az elektromos térerősség vektora mindenütt merőleges az sugarú hengerpalást felületére, és nagysága is mindenütt megegyező, ezért az integrál a következőképp egyszerűsödik:
Kifejezve -t, megkapjuk a térerősséget a kondenzátor tengelyétől mért távolság függvényében:
A térerősség ismeretében meghatározhatjuk a két hengerfelület közti potenciálkülönbséget:
A kapacitás pedig: