„Elektrosztatika példák - Két azonos sugarú fémgömbből álló rendszer kapacitása” változatai közötti eltérés
(→Megoldás) |
(→Feladat) |
||
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex>#Mekkora két azonos , $a$ sugarú fémgömbből álló rendszer kapacitása, ha gömbök | + | </noinclude><wlatex>#Mekkora két azonos , $a$ sugarú fémgömbből álló rendszer kapacitása, ha gömbök felületének egymáshoz legközelebbi pontjai $b$ távolságra helyezkednek el? ($b>>a$)</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$C=\dfrac{Q}{U_{AB}}=\dfrac{2\pi \varepsilon_0}{\left( \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b-a} \right)}$$}} |
</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
+ | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex> | <wlatex> |
A lap 2021. március 8., 14:50-kori változata
Feladat
- Mekkora két azonos ,
sugarú fémgömbből álló rendszer kapacitása, ha gömbök felületének egymáshoz legközelebbi pontjai
távolságra helyezkednek el? (
)
Megoldás
Legyen töltése az egyik,
töltése a másik fémgömbnek.
Gauss tétel segítségével könnyen meghatározhatjuk a
töltésű gömb által keltett teret az
távolság függvényében:
![\[E_{(r)}=\dfrac{Q}{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{1}{r^2}\]](/images/math/c/4/2/c425a5ac87e20defd544eff4d5293063.png)
A töltéssel bíró gömb által keltett tér hatására
potenciálkülönbség jön létre az ábrán látható A és B pontok között. Az
meghatározható, ha a gömb elektromos terét integráljuk
és
pontok között:
![\[U_{AB1}=-\int_{A}^{B}E_{(r)}dr-\int_{a}^{b-a}E_{(r)}dr=-\dfrac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \int_{a}^{b-a} \dfrac{1}{r^2} dr=\dfrac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left( \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b-a} \right)\]](/images/math/7/c/d/7cd90dad12469fb5829cddc1ca10809f.png)
A két gömbből álló rendszer tükörszimmetriájából következik, hogy a másik, töltésű gömb által az
és
pontok között létrehozott
potenciálkülönbség megegyezik az első gömb által keltett
potenciálkülönbséggel. (
) Tekintve, hogy a potenciáltér lineáris, a két gömbfelület között mért potenciálkülönbség az egyes gömbök által keltett potenciálkülönbségek összege:
![\[U_{AB}=U_{AB1}+U_{AB2}=2U_{AB1}=\dfrac{Q}{2\pi \varepsilon_0} \left( \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b-a} \right)\]](/images/math/4/8/5/48541da9de3b706c92b7d7431088be90.png)
A rendszer kapacitása:
![\[C=\dfrac{Q}{U_{AB}}=\dfrac{2\pi \varepsilon_0}{\left( \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b-a} \right)}\]](/images/math/1/b/5/1b5f85a731b3f5262b3bfd62789112a1.png)