Elektrosztatika példák - Változó permittivitású dielektrikummal töltött gömbkondenzátor
A Fizipedia wikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Beleznai (vitalap | szerkesztései) 2013. szeptember 14., 19:57-kor történt szerkesztése után volt.
Feladat
- Az
és az
sugarú koncentrikus gömb közötti térrészt inhomogén szigetelő tölt ki, amelynek permittivitása a közös centrumtól mért távolság függvénye. Milyen függvény szerint kell változnia a permittivitásnak, hogy a kondenzátort feltöltve az elektromos térerősség nagysága az egész térrészben állandó legyen? Számítsuk ki ezen kondenzátor kapacitását!
Megoldás
Ha a belső gömb felületére felviszünk töltést, akkor a Gauss-tétel miatt a két gömb közötti térészben az elektromos eltolás a következőképpen változik:
![\[\vec{D} = \frac{Q}{4\pi r^2}\]](/images/math/d/e/e/dee6777a8b65cfb369b63ce7d0ba88ca.png)
Az elektromos teret a következőképpen számolhatjuk ki az elektromos eltolásból:
![\[\vec{E} = \frac{\vec{D}}{\epsilon_{0} \epsilon\left(r\right)} = \frac{Q}{4\pi r^2\epsilon_0\epsilon\left(r\right)}\]](/images/math/2/f/f/2ff8de0994ec32cea0850e1b9858ac5d.png)
Ebből következik, hogy ha a kondenzátor belsejében homogén elekromos tér van, akkor
![\[\epsilon\left(r\right) = \frac{\alpha}{r^2}\]](/images/math/6/d/4/6d45c060c4d956c5b5ba7d246bca5e1f.png)
ahol egy négyzetméter dimenziójú, tetszőleges konstans.
A kondenzátor kapacitásának meghatározásához, először a fegyverzetek közötti potenciál különbséget kell meghatároznunk. Mivel a fegyverzetek között az elektromos tér konstans, ezért a potenciálkülönbség:
![\[U = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0\alpha}\cdot\left(R-r\right)\]](/images/math/7/0/6/7061c10882651473ade1b62c373c3fcd.png)
Amiből kiszámolható a kondenzátor kapacitása:
![\[C = \frac{4\pi\epsilon_0\alpha}{R-r}\]](/images/math/1/f/c/1fc8e2bb621672b1620472c6e78854dc.png)