Mechanika - Lelógatott korong tárcsával és tömeggel

Feladat

1. (*3.3.7.) $\setbox0\hbox{$2R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú $\setbox0\hbox{$4m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű korong kerületére csavart fonál szabad végét felfüggesztjük. A koronghoz erősített elhanyagolható tömegű $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú tárcsa kerületére csavart fonál végére $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű testet függesztünk (mindkét fonál a korong középpontjának ugyanazon oldalán van). A rendszer függőleges síkban mozoghat. Írjuk le a rendszer mozgását!
   

Megoldás

Legyen a korong az 1-es test, az azt tartó kötélerő $\setbox0\hbox{$K_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a másik test a 2-es, és a kettő közti kötélben ható erő $\setbox0\hbox{$K_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A megadott adatokkal $\setbox0\hbox{$\theta_{\rm{TKP}}=8mR^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A mozgásegyenletek mozgásirányban pozitív koordinátatengelyekkel

$\[ma_2=mg-K_2\]$

$\[4ma_1=4mg+K_2-K_1\]$

$\[\theta_{\rm{TKP}}\beta=8mR^2\cdot\frac{a_1}{2R}=K_1 2R-K_2R\]$

Ez három egyenlet négy ismeretlenre (gyorulások és kötélerők), a még hiányzó egyenlet már csak a két test mozgásának viszonyáról szólhat:

$\[a_2=\frac{a_1}2\]$

Ehhez úgy jutunk, ha megnézzük, mennyit változik a 2-es test magassága, ha $\setbox0\hbox{$l_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú kötél csavarodik le a korongról. Emiatt a test $\setbox0\hbox{$l_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-el lejjebb kerülne, de közben a tárcsán felcsavarodik $\setbox0\hbox{$\frac{l_1}2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú kötél, emiatt ennyivel feljebb kerülne. Összességében tehát $\setbox0\hbox{$l_2=l_1-\frac{l_1}2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a magasságváltozás, ezt kétszer idő szerint deriválva kapjuk a gyorsulások viszonyát. Áttérve a szöggyorsulásra és $\setbox0\hbox{$K_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-t behelyettesítve már csak két ismeretlen és két egyenlet van. Célszerű a másik kötélerőtől megszabadulni az egyenletek megfelelő lineáris kombinációjával, így kapható a szöggyorsulásra

$\[\beta=\frac{9g}{25R}\]$

.