Elektrosztatika - Kapacitás, kondenzátorok. Elrendezések energiája

Feladatok

1. Számítsuk ki az $\setbox0\hbox{$R_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$R_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarakkal adott gömbkondenzátor kapacitását, ha a fegyverzetek között levegő van.
   Útmutatás

   A Gauss törvény alkalmazásával könnyen meghatározhatjuk a gömb terét a középponttól mért $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolság függvényében
   Végeredmény

   $\[C=\dfrac{Q}{U_{1,2}}=\dfrac{4\pi\varepsilon_0}{\left( \dfrac{1}{R_1}-\dfrac{1}{R_2} \right)}\]$
   Megoldás
   
   
2. Mekkora egy $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú fémgömb kapacitása?
   Végeredmény

   $\[C=\dfrac{Q}{U}=4\pi\varepsilon_0 R\]$
   Megoldás
   
   
3. Számítsuk ki egy $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú, $\setbox0\hbox{$R_1<R_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarakkal rendelkező hengerkondenzátor kapacitását, ha a hengerek között levegő van. Legyen $\setbox0\hbox{$R_2-R_1 \ll l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, azaz tekintsünk el a kondenzátor végein kialakuló szórt tértől!
   Végeredmény

   $\[C=\dfrac{2\pi l \varepsilon_0}{ln \left( \dfrac{R_2}{R_1} \right)}\]$
   Megoldás
   
   
4. Két azonos, $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ keresztmetszeti sugarú, $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú hengeres vezeték fekszik egymás mellett párhuzamosan, egymástól $\setbox0\hbox{$b>>a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra. Mekkora a rendszer kapacitása? ($\setbox0\hbox{$l>>b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$)
   Végeredmény

   $\[C=\dfrac{Q}{U_{AB}}=\dfrac{Q=2\pi a l \omega}{\dfrac{2\omega a}{\varepsilon_0} ln \left( \dfrac{b-a}{a} \right)}=\dfrac{\pi l \varepsilon_0}{ln \left( \dfrac{b-a}{a} \right)}\]$
   Megoldás
   
   
5. $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú egyenes hengeres vezeték párhuzamosan helyezkedik el egy végtelen vezető síkkal. A vezeték keresztmetszetének sugara $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a távolság a vezeték síkhoz legközelebbi pontja és a sík között $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Mekkora a rendszer kapacitása? ($\setbox0\hbox{$a<<d<<l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$)
   Végeredmény

   $\[C=2C^*=\dfrac{2 \pi l \varepsilon_0}{ln \left( \dfrac{2d-a}{a} \right)}\]$
   Megoldás
   
   
6. Mekkora két azonos , $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú fémgömbből álló rendszer kapacitása, ha gömbök felületének egymáshoz legközelebbi pontjai $\setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra helyezkednek el? ($\setbox0\hbox{$b>>a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$)
   Végeredmény

   $\[C=\dfrac{Q}{U_{AB}}=\dfrac{2\pi \varepsilon_0}{\left( \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b-a} \right)}\]$
   Megoldás
   
   
7. Mekkora annak a rendszernek a kapacitása, amely egy $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú fémgömbből, valamint ennek középpontjától $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra elhelyezett végtelen vezető síkból áll? ($\setbox0\hbox{$d>>a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$)
   Végeredmény

   $\[C=2C^*=\dfrac{4\pi \varepsilon_0}{\left( \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{2d-a} \right)}\]$
   Megoldás
   
   
8. Síkkondenzátor $\setbox0\hbox{$S$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ területű lemezei között levegő van. Mennyi munkát kell végezni ahhoz, hogy a lemezek közötti távolságot lassan $\setbox0\hbox{$x_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ről $\setbox0\hbox{$x_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-re növeljük, ha a folyamat során
   a) a lemezekre vitt $\setbox0\hbox{$q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltést;
   b) a lemezek közötti $\setbox0\hbox{$U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ feszültséget tartjuk állandónak?
   
   Végeredmény

   a)

   $\[W=-W_{eroter}=\dfrac{q^2}{2S\varepsilon_0}(x_2-x_1)\]$

   
   b)

   $\[W=-W_{eroter}=\dfrac{\varepsilon_0 U^2 S}{2} \left( \dfrac{1}{x_1}-\dfrac{1}{x_2} \right)\]$
   Megoldás
   
   
9. Egy $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú gömbben homogén $\setbox0\hbox{$\rho$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogati töltéssűrűség van. Határozzuk meg az elrendezés energiáját!
   Végeredmény

   $\[W=\dfrac{4 \rho^2 \pi R^5}{15 \varepsilon_0}\]$
   Megoldás