Mechanika - Hokikorong és rúd ütközése

Feladat

1. (*3.3.24. alapján) Egy pontszerűnek tekinthető $\setbox0\hbox{$v_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességű $\setbox0\hbox{$2m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű hokikorong tökéletesen rugalmatlanul ütközik egy fele akkora tömegű, $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú rúd végével (jégen). Az ütközés után a testek összetapadnak. Írja le a rendszer mozgását ütközés után!
   

   a) Hol lesz az ütközés után a rendszer tömegközéppontja (a rúd hossza mentén)?

   b) Mekkora lesz a tömegközéppont sebessége?

   c) Mekkora az e pontra vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték?

   d) Milyen szögsebességgel forog a rendszer ütközés után?

Megoldás

1. a) A tömegközéppont a rúdnak attól a végétől, ahol a koronggal összekapcsolódik, az

   $\[x_{\rm{TKP}}3m=2m0+m\frac l2\]$

   egyenlet alapján $\setbox0\hbox{$\frac l6$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra, a rúd tömegközéppontjától pedig $\setbox0\hbox{$\frac l3$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra lesz.

   b) A rugalmatlan ütközés egyenlete a tömegközéppontra $\setbox0\hbox{$2mv_0=3mv_{\rm{TKP}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ebből

   $\[v_{\rm{TKP}}=\frac23v_0\]$

   c) A rúd tehetetlenségi nyomatéka a közös tömegközéppontra

   $\[\theta_{\text{rúd}}=\frac{ml^2}{12}+m\left(\frac l3 \right)^2=\frac7{36}ml^2,\]$

   és ehhez jön még a korong $\setbox0\hbox{$2m\left(\frac l6 \right)^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nyomatéka, így a teljes rendszer tehetetlenségi nyomatéka

   $\[\theta=\frac{ml^2}4\]$

   d) Az impulzusmomentum $\setbox0\hbox{$(2m)v_0\frac l6=\left(m\frac{l^2}4\right)\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ megmaradásából (a tömegközéppontra felírva) a szögsebesség

   $\[\omega=\frac{4v_0}{3l}\]$