Elektrosztatika példák - Egyenletesen töltött gömbtérfogat energiája
Feladat
- Egy sugarú gömbben homogén töltéssűrűség van. Határozzuk meg az elrendezés energiáját!
Megoldás
A töltéselrendezés energiájához ismernünk kell a térerősséget a tér minden pontjában. Először a gömbön belül határozzuk meg a teret. Felveszünk egy sugarú gömbfelületet, melynek centruma egybe esik a töltött gömbével. Meghatározzuk, mekkora töltést zár magába az sugarú zárt felület:
A zárt felületre felírjuk a Gauss törvényt:
A rendszer gömbszimmetriája miatt az sugarú felület minden pontjában azonos nagyságú térerősséget mérhetünk, továbbá kijelenthetjük, hogy a térerősség vektorok minden pontban merőlegesek a felületre. Így a Gauss integrál jelentősen egyszerűsödik:
Ebből kifejezve -t megkapjuk a térerősséget a gömb belsejében a centrumtól mért távolság függvényében:
A gömbön kívüli teret () szintén a Gauss törvény segítségével határozhatjuk meg:
Itt a gömb teljes töltését jelenti:
Tehát a gömbön kívüli tér:
Az elektromos tér energiasűrűsége az alábbiak szerint definiálható:
A tér teljes energiája az energiasűrűség integrálja a teljes térre: