Elektrosztatika példák - Fémgömbből és végtelen vezető síkból álló rendszer kapacitása
Feladat
- Mekkora annak a rendszernek a kapacitása, amely egy
sugarú fémgömbből, valamint ennek középpontjától
távolságra elhelyezett végtelen vezető síkból áll? (
)
Megoldás
Induljunk ki az előző, Két azonos sugarú fémgömbből álló rendszer kapacitása feladat megoldásából. Ott kiszámítottuk, hogy két egymástól távolságra levő
sugarú gömb kapacitása:
![\[C^*=\dfrac{2\pi \varepsilon_0}{\left( \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b-a} \right)}\]](/images/math/d/4/1/d418744b73c903c8183e9dac58cdcbc2.png)
Válasszuk a gömbök távolságát -nek. Ebben az esetben a kapacitás:\
![\[C^*=\dfrac{2\pi \varepsilon_0}{\left( \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{2d-a} \right)}\]](/images/math/9/b/a/9ba7f6b360d72f6f72d8777a28f8040f.png)
Vegyük észre, hogy a gömbök 1. ábrán jelölt szimmetriasíkja egy ekvipotenciális felület. Ez könnyen belátható, hiszen ezt a síkot az elektromos tér erővonalai mindenütt merőlegesen döfik. Emiatt a síkban egy próbatöltést tetszőlegesen mozgathatunk munkavégzés nélkül, tehát a sík pontjai azonos potenciálon vannak.
S ha így van, egy vékony fémlapot is elhelyezhetünk ebben a síkban anélkül, hogy az elektromos tér változást szenvedne. Az így kapott elrendezés ekvivalens két sorba kapcsolt síklap-gömb kondenzátorral, mely a jelen feladat kitűzésében szerepel. Gondolatkísérletünkkel tehát beláttuk, hogy a kapacitású síklap-gömb kondenzátor, és a fent hivatkozott
kapacitású gömb-gömb kondenzátor kapacitásaira igaz az alábbi összefüggés:
![\[\dfrac{1}{C^*}=\dfrac{1}{C}+\dfrac{1}{C}\]](/images/math/4/b/c/4bc39599f289f17b0320b715b2d0ff1e.png)
Ebből kifejezve -t:
![\[C=2C^*=\dfrac{4\pi \varepsilon_0}{\left( \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{2d-a} \right)}\]](/images/math/c/6/5/c65351ef90fc2960fc6d7842cc0a4c02.png)