Mechanika - Tömeg rugón súlyos csigával

Feladat

1. (*3.3.9.) Vízszintes tengely körül forgó csigán átvetett fonál egyik végén $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű teher függ. A fonál másik vége rugóhoz csatlakozik, amelynek rugóállandója $\setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A csiga sugara $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, tehetetlenségi nyomatéka $\setbox0\hbox{$\theta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Mutassuk ki, hogy a teher rezgőmozgást végez! Mekkora a rezgésidő?
   

Megoldás

Vegyük észre, hogy súlyos csigáról lévén szó a két oldalán a kötélerők nem feltétlenül egyformák, ezért lehet nullától különböző eredő forgatónyomatékuk, ami a csigát gyorsítja! A mozgásegyenletek:

$\[ma=mg-K_1\]$

$\[\theta\beta=K_1R-K_2R\]$

a további egyenletek

$\[a=\beta R=\ddot x\]$

és

$\[K_2=Dx\]$

. A nyomatéki egyenletben látható, hogy nulla tehetetlenségi nyomaték esetén a két kötélerő szükségképpen azonos, máskülönben nem. Ebbe az egyenletbe a többit helyettesítve

$\[\left(\frac{\theta}R+mR\right)\ddot x=mgR-DxR\]$

Ebben a jobb oldal első tagja állandó, és az egyensúlyi helyzet eltolását eredményezi, a második tag pedig lineáris visszatérítő erő, tehát az egyenlet valóban harmonikus rezgőmozgást ír le. A bal oldal zárójeles tényezőjével osztva az egyenlet a gyorsulásra rendezett, így a második tag együtthatójából leolvasható a körfrekvencia:

$\[\omega=\frac{DR}{\frac{\theta}R+mR}=\frac{D}{\frac{\theta}{R^2}+m},\]$

melyből a periódusidő

$\[T=2\pi\sqrt{\frac{\frac{\theta}{R^2}+m}{D}}\]$