Elektrosztatika példák - Dielektriumba helyezett fémgömb potenciáltere

Feladat

1. Egy $\setbox0\hbox{$R_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú, egyenletesen töltött. fémgömböt, egy $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vastag $\setbox0\hbox{$\epsilon_r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ permittivitásű szigetelővel veszünk körbe. Hogyan függ a potenciál a centrumtól mért távolságtól?

Megoldás

Legyen a külső gömb sugara $\setbox0\hbox{$R_2 = R_1+d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, töltése pedig $\setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Írjuk fel a Gauss-tételt, egy $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú gömbre, amely koncentrikus $\setbox0\hbox{$R_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-el és $\setbox0\hbox{$R_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-vel.

$\[\iint\vec{D}\cdot{dA} = Q\]$

Ha $\setbox0\hbox{$r<R_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ akkor $\setbox0\hbox{$\vec{D} = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\vec{E} = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hiszen az integrálási tartományon belül nem található töltés. Ha $\setbox0\hbox{$r>R_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, akkor

$\[D\cdot 4\cdot\pi\cdot r = Q \Rightarrow D = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot r^2}\]$

Az elektromos tér pedig, mivel $\setbox0\hbox{$\vec{E} = \frac{\vec{D}}{\epsilon_0\cdot\epsilon_r}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ezért ha $\setbox0\hbox{$R_1<r<R_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ akkor

$\[E = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot r^2\cdot\epsilon_0\cdot\epsilon_r}\]$

ha pedig $\setbox0\hbox{$R_2<r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ akkor

$\[E = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot r^2\cdot\epsilon_0}\]$

A potenciál az $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvényében pedig:

$\[U\left(r\right) = -\int_\infty^r E\left(\tilde{r}\right)\cdot d\tilde{r}\]$

Vagyis ha $\setbox0\hbox{$R_2<r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ akkor

$\[U = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot r\cdot\epsilon_0\cdot}\]$

Ha $\setbox0\hbox{$R_1<r<R_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ akkor

$\[U = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot R_2\cdot\epsilon_0\cdot}+\frac{Q}{4\cdot\pi\cdot\epsilon_0\cdot\epsilon_r}\cdot\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{R_2}\right)\]$

A gömb belsejében pedig konstans ptenciál van, amelynek értéke:

$\[U = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot R_2\cdot\epsilon_0\cdot}+\frac{Q}{4\cdot\pi\cdot\epsilon_0\cdot\epsilon_r}\cdot\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right) \]$

A potenciált ábrázolva, egy folytonos görbét kapunk: 1.ábra