Elektrosztatika példák - Változó permittivitású dielektrikummal töltött gömbkondenzátor

Feladat

1. Az $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ koncentrikus közötti térrészt inhomgén szigetelő tölt ki, amelynek permittivitása a közös centrumtól mért távolság függvénye. Milyen függvény szerint kell változnia a permittivitásnak, hogy a kondenzátort feltöltve, az elektromos térerősség nagysága az egész térrészben állandó legyen? Számítsuk ki ezen kondenzátor kapacitását!

Megoldás

Ha a belső gömb felületére felviszünk $\setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltést, akkor a Gauss-tétel miatt a két gömb közötti térészben az elektromos eltolás a következőképpen változik:

$\[\vec{D} = \frac{Q}{4\pi r^2}\]$

Az elektromos teret a következőképpen számolhatjuk ki az elektromos eltolásból:

$\[\vec{E} = \frac{\vec{D}}{\epsilon_{0} \epsilon\left(r\right)} = \frac{Q}{4\pi r^2\epsilon_0\epsilon\left(r\right)}\]$

Ebből következik, hogy ha a kondenzátor belsejében homogén elekromos tér van, akkor

$\[\epsilon\left(r\right) = \frac{\alpha}{r^2}\]$

ahol $\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ egy négyzetméter dimenziójú, tetszőleges konstans.

A kondenzátor kapacitásának meghatározásához, először a fegyverzetek közötti potenciál különbséget kell meghatároznunk. Mivel a fegyverzetek között az elektromos tér konstans, ezért a potenciálkülönbség:

$\[U = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0\alpha}\cdot\left(R-r\right)\]$

Amiből kiszámolható a kondenzátor kapacitása:

$\[C = \frac{4\pi\epsilon_0\alpha}{R-r}\]$