Elektrosztatika példák - Gömbkondenzátor kapacitása

Feladat

1. Számítsuk ki az $\setbox0\hbox{$R_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$R_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarakkal adott gömbkondenzátor kapacitását, ha a fegyverzetek között levegő van.

Megoldás

Legyen $\setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltés a belső, $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú gömbön. A Gauss törvény alkalmazásával könnyen meghatározhatjuk a gömb terét a középponttól mért $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolság függvényében:

$\[E_{(r)}=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{1}{r^2}\]$

Ennek ismeretében kiszámíthatjuk a potenciál különbséget a belső és a külső gömb között:

$\[U_{1,2}=-\int_{R_1}^{R_2}E_{(r)}dr=-\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \int_{R_1}^{R_2}E_{(r)} \dfrac{1}{r^2}dr=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left( \dfrac{1}{R_1}-\dfrac{1}{R_2} \right)\]$

A kapacitás pedig:

$\[C=\dfrac{Q}{U_{1,2}}=\dfrac{4\pi\varepsilon_0}{\left( \dfrac{1}{R_1}-\dfrac{1}{R_2} \right)}\]$