Mechanika - Három test lejtőn

Feladat

1. (3.3.17.) A vízszintessel $\setbox0\hbox{$30^{\circ}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-os szöget képező $\setbox0\hbox{$5\,\rm m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ magasságú lejtőn egyidejűleg kezdősebesség nélkül elindítunk egy hasábot, egy hengert és egy golyót. A hasáb súrlódásmentesen csúszik, a henger és a golyó csúszásmentesen gördül. A testek különböző időtartamok alatt érnek a lejtő aljára, ahol lécbe ütköznek. Mekkora időközök telnek el az egyes ütközések között?

Megoldás

A hasáb gyorsulása

$\[a_1=g\sin{\alpha}=\frac g2,\]$

homogén tömör hengert feltételezve annak gyorsulása az előző feladat mintájára

$\[a_2=\frac23g\sin{\alpha}=\frac g3.\]$

A homogén tömör gömb tehetetlenségi nyomatéka $\setbox0\hbox{$\theta=\frac25mR^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ezzel a gyorsulása

$\[a_3=\frac57g\sin{\alpha}=0,36g\]$

Mivel $\setbox0\hbox{$a_1>a_3>a_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, először a hasáb, majd a gömb, végül a henger érkezik le $\setbox0\hbox{$t=\sqrt{\frac{2s}a}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ idő alatt, ahol $\setbox0\hbox{$s=\frac h{\sin{\alpha}}=10\,\rm m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-re jön ki. A leérkezés ideje rendre $\setbox0\hbox{$2,02\,\rm s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$2,47\,\rm s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$2,39\,\rm s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, így a keresett időközök $\setbox0\hbox{$0,37\,\rm s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$0,08\,\rm s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.