Elektrosztatika példák - Kétrétegű dielektrikummal töltött síkkondenzátor

Feladat

1. Egy síkkondenzátor dielektrikuma két rétegből áll, amelyek elválasztó felülete a fegyverzetekkel párhuzamos. Meghatározandó a kondenzátorra kapcsolható legnagyobb feszültség, ha az egyik réteg vastagsága $\setbox0\hbox{$d_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, relatív permittivitása $\setbox0\hbox{$\epsilon_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, és átütési szilárdsága $\setbox0\hbox{$E_{kr1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ugyanezek az értékek a másik rétegre: $\setbox0\hbox{$d_{2},\epsilon_{2},E_{kr2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

Megoldás

A Gauss-tételből következik, hogy a kondenzátorban jelenlévő elektromos eltolás nagysága mindkét közegben: $\setbox0\hbox{$D = \omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ahol $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a kondenzátor fegyverzeteire felvitt szabad töltés. Ebből következik, hogy az elektromos térerősség nagysága a két térrészben:

$\[E_1 = \frac{\omega}{\epsilon_0\cdot\epsilon_1}\]$

$\[E_2 = \frac{\omega}{\epsilon_0\cdot\epsilon_2}\]$

Ezekkel, a két fegyverzet között fellépő potenciálkülönbség:

$\[U = E_1\cdot d_1 + E_2\cdot d_2\]$

A fegyverzetek közé kapcsolható maximális potenciálkülönbség pedig:

$\[U = \frac{E_{kr}}{\epsilon_1} \cdot d_1 + \frac{E_{kr}}{\epsilon_2} \cdot d_2\]$

Ahol

$\[E_{kr} = \min\left\lbrace E_{kr1},E_{kr2}\right\rbrace \]$