Elektrosztatika példák - Változó permittivitású dielektrikummal töltött síkkondenzátor

Feladat

1. Egy síkkondenzátor egymástól $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra lévő fegyverzetei között olyan dielektrikum van, amelynek relatív permittivitása lineárisan változik 1-től 2-ig. A töltéssűrűség abszolút értéke a lemezeken $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Mekkora a feszültség a két fegyverzet között?

Megoldás

A dielektrikum lineáris változása, az erővonalakra merőleges rétegzés határeseteként fogható fel.A realtív permittivitás változása lemezek között:

$\[\epsilon_r = 1+\frac{x}{d}\]$

Az elektromos eltolás vektora a kondenzátor lemezei között konstans, és értéke $\setbox0\hbox{$\vec{D} = \omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ezzel szemben az elektromos tér folytonosan változik a lemezek között, mivel:

$\[\vec{E(x)} = \frac{\vec{D}}{\epsilon_0\cdot\epsilon_r(x)} = \frac{\omega}{\left(1+\frac{x}{d}\right)\cdot\epsilon_0}\]$

A potenciál a lemezek között pedig

$\[U = \int_0^d E\cdot dx =\int_0^d \frac{\omega}{\left(1+\frac{x}{d}\right)\cdot\epsilon_0} dx = \frac{\omega}{\epsilon_0}\cdot d\cdot\ln(2)\]$