Elektrosztatika példák - Szigetelővel töltött hengerkondenzátor

Feladat

1. Végtelen hosszú hengerkondenzátorban kétféle szigetelő anyag van az ábrán látható módon elrendezve. A hengerkondenzátor fegyverzeteinek sugara $\setbox0\hbox{$R_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$R_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú szakaszon a töltésük $\setbox0\hbox{$+Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és$\setbox0\hbox{$-Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A szigetelők relatív permittivitása $\setbox0\hbox{$\epsilon_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\epsilon_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.
   a) Írja fel az $\setbox0\hbox{$\vec{E}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térerősség vektor nagyságát, mint a sugár függvényét mindkét szigetelőben!
   b) Írja fel a $\setbox0\hbox{$\vec{D}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ elektromos eltolás vektor nagyságát, mint a sugár függvényét mindkét szigetelőben!
   c) Határozza meg a $\setbox0\hbox{$h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú szakasz kapacitását!
   d) Mekkora lehet a $\setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltés, ha kondenzátorban használt szigetelő anyagok ($\setbox0\hbox{$E_{kr1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ illetve $\setbox0\hbox{$E_{kr2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) kritikus felett átütnek, és elveszítik szigetelő tulajdonságukat?
   
   

Megoldás

a, Írjuk fel a Gauss-tételt egy $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú, $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú, a fegyverzetekkel koncentrikusan elhelyezkedő hengerfelületre.

$\[\int \vec{D}\cdot\vec{dA} = Q\]$

Az $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú felületen az elektromos tér sugárirányú komponensének nagysága szükségszerűen megegyezik a két közegben, máskülönben az egyes fémhengerek nem lennének ekvipotenciális felületek. Ugyanazon $\setbox0\hbox{$E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ elektromos térhez azonban két eltérő elektromos eltolás érték tartozik az eltérő dielektromos állandójú közegekben.

$\[D_1\frac{1}{4} 2\pi r l +D_2\frac{3}{4} 2 \pi r l = Q\]$

$\[2\pi r l\cdot\left(\frac{D_1}{4}+\frac{3\cdot D_2}{4}\right) = Q\]$

Alkalmazva az elektromos eltolás és az elektromos tér közti $\setbox0\hbox{$E=\epsilon D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ összefüggést:

$\[2\pi r l \left(\frac{\epsilon_0\epsilon_1\cdot E}{4}+\frac{\epsilon_0\epsilon_2\cdot 3\cdot E}{4}\right) = Q\]$

Az egyenletből kifejezve a térerősséget:

$\[E = \frac{Q}{2\pi l r \epsilon_0}\cdot\left(\frac{1}{\frac{\epsilon_1}{4}+\frac{3\epsilon_2}{4}} \right) \]$

b, Az előző rész eredményeit felhasználva az elektromos eltolás a két közegben:

$\[D_1 = \epsilon_1\cdot\vec{E} = \frac{\epsilon_1 Q}{2\pi l r \epsilon_0}\cdot\left(\frac{1}{\frac{\epsilon_1}{4}+\frac{3\epsilon_2}{4}} \right)\]$

$\[D_2 = \epsilon_2\cdot\vec{E} = \frac{\epsilon_2 Q}{2\pi l r \epsilon_0}\cdot\left(\frac{1}{\frac{\epsilon_1}{4}+\frac{3\epsilon_2}{4}} \right)\]$

c, A fegyverzetek közötti potenciálkülönbség:

$\[U = \int_{R1}^{R_2}\vec{E}\cdot\vec{dr} = \frac{2Q}{\pi l \epsilon_0}\cdot\left(\frac{1}{\epsilon_1+3\epsilon_2} \right)\cdot\ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right) \]$

Ebből a kapacitás:

$\[C = \frac{Q}{U} = \frac{\pi\epsilon_0 l\cdot\left(\epsilon_1+3\epsilon_2\right)}{2\cdot\ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right)}\]$

d, A kondenzátor akkor üt át, ha a kilakuló legnagyobb térerősség, nagyobb, mint a kritikus térerősség. A legnagyobb tér a kondenzátorban a belső hengerfelületen van, ezért a felvihető legnagyobb töltés:

$\[Q_{max} = 2 E_{kr} \pi l R_1\epsilon_0\cdot\left(\frac{3\epsilon_2}{4}+\frac{\epsilon_1}{4}\right)\]$

Ahol $\setbox0\hbox{$E_{kr} = \min\left(E_{kr1},E_{kr2}\right)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$