Elektrosztatika példák - Változó permittivitású dielektrikummal töltött gömbkondenzátor
A Fizipedia wikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Beleznai (vitalap | szerkesztései) 2013. szeptember 14., 20:01-kor történt szerkesztése után volt.
Feladat
- Az
és az
sugarú koncentrikus gömb közötti térrészt inhomogén szigetelő tölt ki, amelynek permittivitása a közös centrumtól mért távolság függvénye. Milyen függvény szerint kell változnia a permittivitásnak, hogy a kondenzátort feltöltve az elektromos térerősség nagysága az egész térrészben állandó legyen? Számítsuk ki ezen kondenzátor kapacitását!
Megoldás
Ha a belső gömb felületére felviszünk töltést, akkor a Gauss-tétel miatt a két gömb közötti térészben az elektromos eltolás nagysága a következőképpen változik:
![\[D = \frac{Q}{4\pi r^2}\]](/images/math/5/1/8/5183d51f92266fae41fec88ba15d9401.png)
Az elektromos tér nagyságát a következőképpen számolhatjuk ki az elektromos eltolásból:
![\[E = \frac{D}{\epsilon_{0} \epsilon\left(r\right)} = \frac{Q}{4\pi r^2\epsilon_0\epsilon\left(r\right)}\]](/images/math/a/b/4/ab4e58d2da3e2f29140d432e9960c5c9.png)
Ebből következik, hogy ha a kondenzátor fegyverzetei között homogén elekromos tér van, akkor
![\[\epsilon\left(r\right) = \frac{\alpha}{r^2}\]](/images/math/6/d/4/6d45c060c4d956c5b5ba7d246bca5e1f.png)
ahol egy négyzetméter dimenziójú, tetszőleges konstans.
A kondenzátor kapacitásának meghatározásához először a fegyverzetek közötti potenciál különbséget kell meghatároznunk. Mivel a fegyverzetek között az elektromos tér konstans, ezért a potenciálkülönbség:
![\[U = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0\alpha}\cdot\left(R-r\right)\]](/images/math/7/0/6/7061c10882651473ade1b62c373c3fcd.png)
Amiből kiszámolható a kondenzátor kapacitása:
![\[C = \frac{4\pi\epsilon_0\alpha}{R-r}\]](/images/math/1/f/c/1fc8e2bb621672b1620472c6e78854dc.png)