Elektrosztatika példák - Változó permittivitású dielektrikummal töltött gömbkondenzátor

Feladat

1. Az $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és az $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú koncentrikus gömb közötti térrészt inhomogén szigetelő tölt ki, amelynek permittivitása a közös centrumtól mért távolság függvénye. Milyen függvény szerint kell változnia a permittivitásnak, hogy a kondenzátort feltöltve az elektromos térerősség nagysága az egész térrészben állandó legyen? Számítsuk ki ezen kondenzátor kapacitását!

Megoldás

Ha a belső gömb felületére felviszünk $\setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltést, akkor a Gauss-tétel miatt a két gömb közötti térészben az elektromos eltolás nagysága a következőképpen változik:

$\[D = \frac{Q}{4\pi r^2}\]$

Az elektromos tér nagyságát a következőképpen számolhatjuk ki az elektromos eltolásból:

$\[E = \frac{D}{\epsilon_{0} \epsilon\left(r\right)} = \frac{Q}{4\pi r^2\epsilon_0\epsilon\left(r\right)}\]$

Ebből következik, hogy ha a kondenzátor fegyverzetei között homogén elekromos tér van, akkor

$\[\epsilon\left(r\right) = \frac{\alpha}{r^2}\]$

ahol $\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ egy négyzetméter dimenziójú, tetszőleges konstans.

A kondenzátor kapacitásának meghatározásához először a fegyverzetek közötti potenciál különbséget kell meghatároznunk. Mivel a fegyverzetek között az elektromos tér konstans, ezért a potenciálkülönbség:

$\[U = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0\alpha}\cdot\left(R-r\right)\]$

Amiből kiszámolható a kondenzátor kapacitása:

$\[C = \frac{4\pi\epsilon_0\alpha}{R-r}\]$