Elektrosztatika példák - R sugarú fémgömb kapacitása

Feladat

1. Mekkora egy $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú fémgömb kapacitása?

Megoldás

Legyen $\setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltés a gömbön. A Gauss törvény alkalmazásával könnyen meghatározhatjuk a gömb elektromos terének nagyságát a középponttól mért $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolság függvényében:

$\[E_{(r)}=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{1}{r^2}\]$

Ennek ismeretében kiszámíthatjuk a gömb felszínének potenciálját:

$\[U=-\int_{R_1}^{\infty}E_{(r)}dr=-\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \int_{R_1}^{\infty}E_{(r)} \dfrac{1}{r^2}dr=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{1}{R} \]$

A kapacitás pedig:

$\[C=\dfrac{Q}{U}=4\pi\varepsilon_0 R\]$