Elektrosztatika példák - Dielektrikummal határolt végtelen töltött henger

Feladat

1. Egy $\setbox0\hbox{$R_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú, végtelen hosszú fémhenger felületi töltéssűrűségre $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A felületet egyenletes $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vastagságú, $\setbox0\hbox{$\epsilon_r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ permittivitású réteggel vesszük körül.
   a) Mekkora a henger felületi töltéssűrűsége, ha egy $\setbox0\hbox{$q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltést $\setbox0\hbox{$W$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ munka árán tudunk a henger tengelyétől $\setbox0\hbox{$r_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságból $\setbox0\hbox{$r_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságba hozni.
   $\[r_2 > R_1+d > r_1 \]$
   
   b) Ábrázoljuk, hogyan változik a térerősség a tengelytől mért távolság függvényében!
   c) Mekkora maximális töltéssűrűség vihető a henger felületére, ha a dielektrikum átütési szilárdsága $\setbox0\hbox{$E_{kr1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a levegőé pedig $\setbox0\hbox{$E_{kr2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$?

Megoldás

a, Legyen a külső henger sugara $\setbox0\hbox{$R_2 = R_1+d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Írjuk fel a Gauss-tételt egy $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú hengerfelületre, mely a töltött hengerrel koncentrikusan helyezkedik el. Így meghatározhatjuk az elektromos eltolás nagyságát:

$\[D\cdot 2\cdot \pi\cdot r\cdot L = \omega\cdot 2\cdot\pi\cdot R_1\cdot L\Rightarrow D = \frac{\omega\cdot R_1}{r}\]$

Az elektromos térerősség a dielektrikumban:

$\[E = \frac{\omega\cdot R_1}{r\cdot\epsilon_0\cdot\epsilon_r}\]$

A dielektrikumon kívül pedig:

$\[E = \frac{\omega\cdot R_1}{r\cdot\epsilon_0}\]$

A $\setbox0\hbox{$q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltésen végzett munka, miközben $\setbox0\hbox{$r_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ből $\setbox0\hbox{$r_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-be visszük:

$\[W = q\cdot U_2-q\cdot U_1\]$

Ha potenciál referencia pontját a hengertől egységnyi távolságra vesszük fel, akkor:

$\[W = \int_1^{R_2} \frac{\omega\cdot R_1}{r\cdot\epsilon_0}\cdot q dr+\int_{R_2}^{r_1} \frac{\omega\cdot R_1}{r\cdot\epsilon_0\cdot\epsilon_r}\cdot q dr-\int_1^{r_2} \frac{\omega\cdot R_1}{r\cdot\epsilon_0}\cdot q dr\]$

$\[W = \frac{\omega\cdot R_1\cdot q}{\epsilon_0}\ln\left(\left(\frac{r_1}{R_2}\right)^{\frac{1}{\epsilon_r}}\cdot\frac{R_2}{r_2}\right)\]$

Ebből kifejezhető a felületi töltéssűrűség:

$\[\omega = \frac{W\cdot \epsilon_0}{R_1\cdot q \cdot \ln\left(\left(\frac{r_2}{R_2}\right)^{\frac{1}{\epsilon_r}}\cdot\frac{R_2}{r_1}\right)}\]$

b, A térerősséget ábrázolva

c, A dielektrikum akkor üt át, ha a benne lévő legnagyobb elektromos tér nagyobb, mint a dielektrikum átütési szilárdsága. A legnagyobb tér a dielektrikumban a henger felületén van. Ezért a legkisebb töltéssűrűség, ami ahhoz kell, hogy a dielektrikum átüssön:

$\[\omega_1 = \epsilon_0\cdot\epsilon_r\cdot E_{kr1}\]$

Teljesen hasonlóan a legkisebb töltéssűrűség, ami ahhoz kell, hogy a levegő átüssön:

$\[\omega_2 = \epsilon_0\cdot \frac{R_2}{R_1}\cdot E_{kr2}\]$

Ezért a henger felületére vihető legnagyobb töltéssűrűség:

$\[\omega = \min\left\lbrace \omega_1,\omega_2\right\rbrace\]$