Mechanika - Felbillenés lejtőn

Feladat

1. (*3.3.29.) Egy $\setbox0\hbox{$30^{\circ}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hajlásszögű lejtőn $\setbox0\hbox{$0,1\,\rm m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ magasságú, $\setbox0\hbox{$0,2\,\rm m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszú és $\setbox0\hbox{$0,2\,\rm m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szélességű test csúszik le. A test tömege $\setbox0\hbox{$1\,\rm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A test és a lejtő felülete között a súrlódási tényező $\setbox0\hbox{$0,2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

   a) Írja fel a test mozgásegyenletét!

   b) Hol van a test és a lejtő kölcsönhatását számbavevő erők támadáspontja?

   c) Létezhet-e akkora súrlódási tényező, hogy a test felbillenjen?

Megoldás

A mozgásegyenletek az ábra koordinátarendszerében:

$\[m\ddot x=mg\sin{\alpha}-F_s\]$

$\[m\ddot y=F_{ny}-mg\cos{\alpha}\]$

$\[\theta\ddot\varphi=F_{ny}t-F_sb\]$

Mivel a test csúszik, biztosan nem billen fel, tehát $\setbox0\hbox{$\ddot y=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\ddot\varphi=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, így $\setbox0\hbox{$F_{ny}=mg\cos{\alpha}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$F_s=\mu mg\cos{\alpha}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, így $\setbox0\hbox{$t=\mu b=0,01\,m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Tovább növelve $\setbox0\hbox{$\mu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értékét $\setbox0\hbox{$t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ is növekszik, de $\setbox0\hbox{$t>a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nem lehetséges. Amíg $\setbox0\hbox{$\mu\leq\frac ab=2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, addig biztosan nem billen, mert csúszik.

Ha $\setbox0\hbox{$\mu>\frac ab=2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, nem csúszik, hanem tapad, így $\setbox0\hbox{$\ddot x=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ Tegyük fel, hogy továbbra sem billen, így a többi mozgásegyenletből $\setbox0\hbox{$t=b\tan{\alpha}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ami továbbra sem lehet nagyobb, mint $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, tehát $\setbox0\hbox{$\tan{\alpha}<=\frac ab=2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Jelen téglatest esetében a lejtő nem elég meredek a billenéshez még nagyon nagy súrlódási együttható mellett sem.

Érdemes kvalitatíve is megvizsgálni, hogy összességében mik a billenés feltételei. Egyrészt azt látjuk, hogy a lejtőnek elég meredeknek kell lennie, hogy a súlyerő hatásvonala a test alsó éléhez képest a lejtő alja felé legyen. Másrészt a test nem csúszhat meg a kellően meredek, vagy annál kisebb szögű lejtőn. További esetek: ha a lejtő nem elég meredek, akkor a súrlódási tényezőtől függően csúszás vagy tapadás lesz. Ha a lejtő elég meredek, viszont a súrlódási együttható nem elég nagy, akkor csúszik a test.