Elektrosztatika - Dielektrikumok, Gauss-tétel. Kapacitás, kondenzátorok

Feladatok

1. Egy síkkondenzátor dielektrikuma két rétegből áll, amelyek elválasztó felülete a fegyverzetekkel párhuzamos. Meghatározandó a kondenzátorra kapcsolható legnagyobb feszültség, ha az egyik réteg vastagsága $\setbox0\hbox{$d_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, relatív permittivitása $\setbox0\hbox{$\epsilon_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, és átütési szilárdsága $\setbox0\hbox{$E_{kr1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ugyanezek az értékek a másik rétegre: $\setbox0\hbox{$d_{2},\epsilon_{2},E_{kr2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.
   Végeredmény

   $\[U = \frac{E_{kr}}{\epsilon_1} \cdot d_1 + \frac{E_{kr}}{\epsilon_2} \cdot d_2\]$

   
   ahol

   $\[E_{kr} = \min\left\lbrace E_{kr1},E_{kr2}\right\rbrace \]$
   Megoldás
   
   
2. Ideális síkkondenzátor fegyverzetei egymástól $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra vannak. A kondenzátor beljesében a térerősség $\setbox0\hbox{$E_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.
   a) Hányszorosára változik meg a kondenzátor kapacitása, ha a fegyverzetekkel párhuzamosan egy $\setbox0\hbox{$\delta d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vastagságú fémlemezt helyezünk a kondenzátor belsejébe?
   b) Rajzolja fel a térerősséget, mint a fegyverzettől mért távolság függvényét, ha a fémlemezt a baloldali fegyverzettől $\setbox0\hbox{$d_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra van.
   c) Rajzolja fel a potenciál változását a hely függvényében az előző összeállításnál! Mekkora a fegyverzetek közötti feszültség?
   d) Milyen vastag a szigetelőlemez hatására változik a síkkondenzátor kapacitása ugyanannyiszorosára, mint a fémlemez esetében, ha $\setbox0\hbox{$\epsilon_r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ adott?
   Végeredmény

   a)

   $\[\frac{C_1}{C_0} = \frac{\frac{Q}{U_1}}{\frac{Q}{U_0}} = \frac{U_0}{U_1} = \frac{d}{d-\delta d}\]$

   
   b) A térerősség a kondenzátorban konstans $\setbox0\hbox{$E_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, kivéve a fémben, ahol zérus.
   c) A pontenciál a fegyverzetek között lineárisan növekszik, kivéve a fémben, ahol konstans értéket vesz fel.
   d)

   $\[U_2 = E_0\cdot\left(d-\delta d_2+\frac{\delta d_2}{\epsilon_r}\right)\]$
   Megoldás
   
   
3. Egy síkkondenzátor egymástól $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra lévő fegyverzetei között olyan dielektrikum van, amelynek relatív permittivitása lineárisan változik 1-től 2-ig. A töltéssűrűség abszolút értéke a lemezeken $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Mekkora a feszültség a két fegyverzet között?
   Útmutatás

   Integráljuk a térerősséget a lemezek közötti szakaszon
   Végeredmény

   $\[U = \int_0^d E\cdot dx =\int_0^d \frac{\omega}{\left(1+\frac{x}{d}\right)\cdot\epsilon_0} dx = \frac{\omega}{\epsilon_0}\cdot d\cdot\ln(2)\]$
   Megoldás
   
   

Elektrosztatika példák - Dielektriumba helyezett szigetelő gömb potenciáltere

Megoldás

1. Egy $\setbox0\hbox{$R_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú, végtelen hosszú fémhenger felületi töltéssűrűségre $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A felületet egyenletes $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vastagságú, $\setbox0\hbox{$\epsilon_r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ permittivitású réteggel vesszük körül.
   a) Mekkora a henger felületi töltéssűrűsége, ha egy $\setbox0\hbox{$q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltést $\setbox0\hbox{$W$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ munka árán tudunk a henger tengelyétől $\setbox0\hbox{$r_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságból $\setbox0\hbox{$r_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságba hozni.
   $\[r_2 > R_1+d > r_1 \]$
   
   b) Ábrázoljuk, hogyan változik a térerősség a tengelytől mért távolság függvényében!
   c) Mekkora maximális töltéssűrűség vihető a henger felületére, ha a dielektrikum átütési szilárdsága $\setbox0\hbox{$E_{kr1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a levegőé pedig $\setbox0\hbox{$E_{kr2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$?
   Végeredmény

   a)

   $\[\omega = \frac{W\cdot \epsilon_0}{R_1\cdot q \cdot \ln\left(\left(\frac{r_1}{R_2}\right)^{\frac{1}{\epsilon_r}}\cdot\frac{R_2}{r_2}\right)}\]$

   
   c) A legkisebb töltéssűrűség ami ahhoz kell, hogy a dielektrikum átüssön:

   $\[\omega_1 = \epsilon_0\cdot\epsilon_r\cdot E_{kr1}\]$

   
   Teljesen hasonlóan a legkisebb töltéssűrűség ami ahhoz kell, hogy a levegő átüssön:

   $\[\omega_2 = \epsilon_0\cdot \frac{R_2}{R_1}\cdot E_{kr2}\]$

   
   Ezért a henger felületére vihető legnagyobb töltéssűrűség:

   $\[\omega = \min\left\lbrace \omega_1,\omega_2\right\rbrace\]$
   Megoldás
   
   
2. Végtelen hosszú hengerkondenzátorban kétféle szigetelő anyag van az ábrán látható módon elrendezve. A hengerkondenzátor fegyverzeteinek sugara $\setbox0\hbox{$R_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$R_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú szakaszon a töltésük $\setbox0\hbox{$+Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és$\setbox0\hbox{$-Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A szigetelők relatív permittivitása $\setbox0\hbox{$\epsilon_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\epsilon_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.
   a) Írja fel az $\setbox0\hbox{$\vec{E}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térerősség vektor nagyságát, mint a sugár függvényét mindkét szigetelőben!
   b) Írja fel a $\setbox0\hbox{$\vec{D}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ elektromos eltolás vektor nagyságát, mint a sugár függvényét mindkét szigetelőben!
   c) Határozza meg a $\setbox0\hbox{$h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú szakasz kapacitását!
   d) Mekkora lehet a $\setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltés, ha kondenzátorban használt szigetelő anyagok ($\setbox0\hbox{$E_{kr1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ illetve $\setbox0\hbox{$E_{kr2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) kritikus felett átütnek, és elveszítik szigetelő tulajdonságukat?
   
   
   Végeredmény

   a)

   $\[\vec{E} = \frac{Q}{2\pi l r \epsilon_0}\cdot\left(\frac{1}{\frac{\epsilon_1}{4}+\frac{3\epsilon_2}{4}} \right) \]$

   
   b)

   $\[\vec{D_1} = \epsilon_1\cdot\vec{E} = \frac{\epsilon_1 Q}{2\pi l r \epsilon_0}\cdot\left(\frac{1}{\frac{\epsilon_1}{4}+\frac{3\epsilon_2}{4}} \right)\]$

   $\[\vec{D_2} = \epsilon_2\cdot\vec{E} = \frac{\epsilon_2 Q}{2\pi l r \epsilon_0}\cdot\left(\frac{1}{\frac{\epsilon_1}{4}+\frac{3\epsilon_2}{4}} \right)\]$

   
   c)

   $\[C = \frac{Q}{U} = \frac{\pi\epsilon_0 l\cdot\left(\epsilon_1+3\epsilon_2\right)}{2\cdot\ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right)}\]$

   d)

   $\[Q_{max} = 2 E_{kr} \pi l R_1\epsilon_0\cdot\left(\frac{3\epsilon_2}{4}+\frac{\epsilon_1}{4}\right)\]$

   
   ahol $\setbox0\hbox{$E_{kr} = \min\left(E_{kr1},E_{kr2}\right)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   Megoldás
   
   
3. Az $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és az $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú koncentrikus gömb közötti térrészt inhomogén szigetelő tölt ki, amelynek permittivitása a közös centrumtól mért távolság függvénye. Milyen függvény szerint kell változnia a permittivitásnak, hogy a kondenzátort feltöltve az elektromos térerősség nagysága az egész térrészben állandó legyen? Számítsuk ki ezen kondenzátor kapacitását!
   Útmutatás

   A Gauss tétel segítségével számoljuk ki az elektromos teret és integráljuk a távolság függvényében
   Végeredmény

   $\[C = \frac{4\pi\epsilon_0\alpha}{R-r}\]$
   Megoldás
   
   
4. Egy síkkondenzátor $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ területű fegyverzeti egymástól $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra vannak. A fegyverzetek közötti teret egy $\setbox0\hbox{$\epsilon$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ relatív dielektromos állandójú szigetelő tölti ki. Mennyi munkát végzünk, amikor teljesen kihúzzuk a lemezet a kondenzátor fegyverzeti közül, ha
   a) a lemezek $\setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltése állandó?
   b) a lemezek közti $\setbox0\hbox{$U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ feszültség állandó?
   
   Útmutatás

   A munkavégzést a kondenzátor két állapotának energiakülönbségéből számoljuk ki!
   Végeredmény

   a)

   $\[\Delta E = \frac{1}{2} Q^2\cdot\left(\frac{1}{C_2}-\frac{1}{C_1}\right) = \frac{Q^2 d}{2 A \epsilon_0}\cdot\left(1-\frac{1}{\epsilon}\right) \]$

   
   b)

   $\[\Delta E = \frac{1}{2} U^2\cdot\left(C_2-C_1\right) = \frac{U^2 A \epsilon_0}{2 d }\cdot\left(\epsilon-1\right) \]$
   Megoldás
   
   
5. Adott egy síkkondenzátor, melynek fegyverzetei egymástól $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra helyezkednek el. A kondenzátort feltekerjük egy vastag, $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú hengerre úgy, hogy annak palástján a fegyverzetek $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ réteget alkotnak az 1. ábra szerint. Mennyivel változik az így kapott kondenzátor kapacitása az eredeti állapotához képest? Tételezzük fel, hogy a feltekert fegyverzetek sok réteget alkotnak ($\setbox0\hbox{$N\gg 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$), és a rétegrendszer teljes vastagsága lényegesen kisebb, mint a henger sugara ($\setbox0\hbox{$r\gg 2Nd$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$).
   
   
   1. ábra
   Útmutatás

   A Gauss tétel segítségével állapítsuk meg az egyes fóliarétegeken lévő töltésmennyiséget és adjuk össze!
   Végeredmény

   $\[C=\dfrac{Q}{U}=\dfrac{\dfrac{2N-1}{N}A\varepsilon_{0}E}{Ed}=\dfrac{2N-1}{N}\varepsilon_{0}\dfrac{A}{d} \]$
   Megoldás